正弦余弦定理知識點(diǎn)及基礎題目(高中正弦余弦定理主要題型以及做題方法)
1.高中正弦余弦定理主要題型以及做題方法
1.根據正弦定理和余弦定理公式解三角形（余弦定理中要注意驕傲的的取值個(gè)數）
2.三角形解的個(gè)數的討論：若已知a,b,A，由正弦定理得sinB=(b/a)sinA=m，由此試進(jìn)一步求三角形時(shí)，需結合sinB的取值范圍及A+B(1)若m>1時(shí)，則不存在這樣的角B，故三角形無(wú)解；
(2)若m≤1，則在[0°，180°]內存在角B，但此時(shí)三角形是否有解還需繼續討論。
①當m=1時(shí)，則B=90°，
a.若此時(shí)Ab. .若此時(shí)A≥90°，則三角形無(wú)解。
②當0a.當A+α>180°時(shí)，三角形無(wú)解；
b.當A+αc..當A+βd.當A+β≥180°時(shí)，三角形無(wú)解。
3.利用正弦定理和余弦定理判斷三角形的形狀（主要是公式的換算）
4利用正弦定理和余弦定理證明恒等式（主要是公式的換算）
5.求三角形的面積：公式：S△=?ah^a=?absinC=(abc)/4R=?（a+b+c）r=√p(p-a)(p-b)(p-c) （海倫公式）=?√（ |向量AB|*|向量AC|）^2-（向量AB*向量AC）^2=2RsinAsinBsinC=(a^2sinBsinC)/2sinA 其中r為△ABC內切圓半徑，R為△ABC外接圓半徑，P=?（a+b+c）
6應用舉例：①測量距離 ②測量高度 ③測量角度
2.正、余弦定理的幾道題目
1.△ABC中，A、B、C所對的邊分別為a、b、c,a=x,b=2,B=45°，若該△有2解，求x取值范圍 解：根據余弦定理：b2=a2+c2-2accosB即：a2+c2-2accosB- b2=0 又：a=x,b=2,B=45°故：x 2+c2-2 x ccos45°- 4=0 即：c2-√2 x c+ x 2- 4=0因為該△有2解，故：對于c2-√2 x c+ x 2- 4=0：△=（-√2 x） 2-4(x 2- 4)>0即：x 2并且c有兩解，則兩個(gè)解一定為正數，根據韋達定理：兩根之積=x 2- 4>0；兩根之和=√2 x>0 故：x>2或x0 (3)上面（1）、（2）、（3）的公共部分即為x取值范圍，故：22.tanA=2,tanB=3,a=1，∠C=45°，求三角形面積 解：因為A、B、C為三角形的內角，且tanA=2>0,tanB=3>0故：A、B均為銳角sinA/cosA=.tanA=2，故：sinA=2cosA 又： sin2A+cos2A=1 故：sinA=2√5/5sinB/cosB=.tanB=3，故：sinB=3cosB 又： sin2B+cos2B=1 故：sinB=3√10/10故：根據正弦定理：a/sinA=b/sinB，又：a=1 故：b=3√2/4故：三角形面積S=1/2absinC=1/2*1*3√2/4*√2/2=3/83.三角形ABC中，三邊長(cháng)為連續自然數且最大角為鈍角，求三角形三邊長(cháng) 解：設三邊分別為x,x+1,x+2，則x+2所對的角為鈍角，設為A故：根據余弦定理：cosA=[x2+（ x+1） 2-（ x+2） 2]/[2x(x+1)] 且x+ x+1>x+2故：x2+（ x+1） 2-（ x+2） 21即：-11又：x為自然數，故：x=2故：三角形三邊長(cháng)為2、3、44.設a,b,c為△ABC三條邊，求證：a2+b2+c2〈2(ab+bc+ca) 證明：根據余弦定理，a2+b2-c2=2abcosC ;b2+c2-a2=2bccosA ;a2+c2-b2=2accosB 三式相加得：a2+b2+c2=2abcosC+2bccosA+2accosB5.△ABC，若a2+ab=c2-b2，則角C=？解：因為a2+ab=c2-b2 故：a2+b2-c2=-ab=2abcosC故：cosC=-1/2 故：C=2π/36.△ABC，如果lga-lgc=lgsinB=-lg√2，且B為銳角，則△ABC的形狀是 解：因為lga-lgc=lgsinB=-lg√2 即：lg(a/c)= lgsinB=lg（√2/2）故：a/c=√2/2, sinB=√2/2 ，又B為銳角故：c=√2a,B=π/4又：a2+c2-b2=2accosB 故：b=a故：a2+b2=c2=2 a2故：△ABC的形狀是等腰直角△7.△ABC，已知a-b=4,a+c=2b，且最大角為120°，求三邊長(cháng) 解：因為a-b=4,a+c=2b故：b=4+c;a=8+c故：a所對的角A最大，即：A=120°根據余弦定理：b2+c2-a2=2bccosA故：（4+c） 2+c2-（8+c） 2=2(4+c) ccos120°故：c=6故：b=4+c=10;a=8+c=148.△ABC，已知A=60°，b=1，面積為√3，求（a+b+c）/(sinA+sinB+sinC)解：S=1/2bcsinA=√3 又：A=60°，b=1故：c=4根據余弦定理：b2+c2-a2=2bccosA故：12+42-a2=2*1*4*cos60°故：a=√13根據正弦定理：a/sinA=b/sinBc/sinC故：（a+b+c）/(sinA+sinB+sinC)=a/sinA=√13/sin60°=2√39/3。
3.兩道高一數學(xué)簡(jiǎn)單基礎的正余弦定理題目
10。解：易得AD=2sin(B + A/2),BE=2sin(A + B/2),CF=2sin(A + C/2)
將上式代入所求表達式中得：[ADcos(A/2)+BEcos(B/2)+CFcos(C/2)]/(sinA+sinB+sinC)=2
故：選A。
12。利用正弦定理很容易證明此題有誤。
例如：令C=arccos(1/3)→A=B=[π - arccos(1/3)]/2→tanC/tanA + tanB/tanA=3
4.問(wèn)幾道關(guān)于正、余弦定理的題目*注：以下題目最好寫(xiě)出解答過(guò)程1. 愛(ài)
*注：以下題目最好寫(xiě)出解答過(guò)程。
1。在△ABC中，tanB=1,tanC=2,b=100，求a。
因為A、B、C均為△ABC的內角 所以，A、B、C∈（0,180°） 已知，tanB=1 所以，B=45° 則，sinB=cosB=√2/2 又，tanC=2>0 所以，C∈（0,90°） 所以，sinC=2/√5,cosC=1/√5 而，sinA=sin[180°-（B+C）]=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC =（√2/2）*(2/√5)+（√2/2）*(1/√5) =（√2/2）*(3/√5) =3/√10 由正弦定理有：a/sinA=b/sinB得到： a/(3/√10)=100/（√2/2） 所以，a=300*√2/√10=60√5 2。 在△ABC中，A、B、C相對應的邊分別是a、b、c，求acosB+bcosA。
acosB+bcosA =a*[(a^2+c^2-b^2)/(2ac)]+b*[(b^2+c^2-a^2)/(2bc)] =(a^2+c^2-b^2)/(2c)+(b^2+c^2-a^2)/(2c) =(a^2+c^2-b^2+b^2+c^2-a^2)/(2c) =2c^2/(2c) =c 3。 在△ABC中，A、B、C相對應的邊分別是a、b、c，若（a+b-c）·（sinB+sinB-sinC）=3asinB，求角C的大小。
題目中怎么有兩個(gè)sinB?。
5.高中關(guān)于正余弦定理的題目
(1)原式化為：cosBsinC=sinBcosC，移向得：sinBcosC-cosBsinC=0，運用公式即得sin(B-C)=0
這題要記得公式啊就是：sinBcosC-cosBsinC=sin(B-C)，這是一個(gè)基本公式。
(2)sin2A=sin2B，即2sinAcosA=2sinBcosB，把2約掉，在意到一方，便可以運用公式得到sin(A-B)=0即角A=角B，所以該三角形為等腰三角形。
(3)一個(gè)角的余弦值=他的余角的正弦值，sin(180-A)=sinA,sin(180+A)=-sinA,
cos(180-A)=-cosA,cos(180+A)=-cosA.
6.兩道基礎簡(jiǎn)單的高一正余弦定理題目就是10題跟12題,我做了很多代
這兩道題都可以用特殊代入法求解。
1）， 設三角形ABC為等邊三角形，則AD= BE= CF = 2;A= B = C =60； 此時(shí)算出來(lái)結果為2；答案A正確。 2）。
由b/a+a/b = 6cosC 則 b^2+a^2 =6abcosC = 3(a^2+b^2 -c^2)； 則2(a^2+b^2) = 3c^2 tanC/tanA+ tanB/tanA = (tanB+tanC)/tanA = cosA/(cosBcosC) = [(b^2+c^2 -a^2)/(2ab)]/ {[(a^2+c^2 -b^2)/(2ac)]{[(a^2+b^2 -c^2)/(2ab)]} 一種偷懶的方法是：2(a^2+b^2) = 3c^2 找個(gè)特殊的三角形：假設a^2 = b^2 = 3 /4c^2 代入 [（b^2+c^2 -a^2）/(2ab)]/ {[(a^2+c^2 -b^2)/(2ac)]{[(a^2+b^2 -c^2)/(2ab)]} 可得結果為3; 。
7.關(guān)于正弦定理與余弦定理的題
1。
直接用余弦定理設第三邊為x，則x^2=5^2+4^2-2*5*4*cos120°=61，即x=√612。先運用和差化積、積化和差、倍角公式確定角度注意到A+B+C=180°，A+B=120°sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]=2sin[120°/2]*cos[(A-B)/2]=√3cos[(A-B)/2]sinAsinB=-1/2[cos(A+B)-cos(A-B)]=-1/2[cos120°-cos(A-B)]=1/2cos(A-B)+1/4因sinA+sinB=2√6sinAsinB則√3cos[(A-B)/2]=2√6*[1/2cos(A-B)+1/4]而由倍角公式有cos(A-B)=2cos^2[(A-B)/2]-1，令cos[(A-B)/2]=t，則有t^2-√2/4-1/4=0解得t=√2/2或t=-√2/4即cos[(A-B)/2]=√2/2或cos[(A-B)/2]=-√2/4因-180°0，所以cos[(A-B)/2]=√2/2，即|A-B|=90°令A>B，而A+B=120°所以A=105°，B=15°再用正弦定理、倍角公式、兩角和正弦公式確定邊及面積設另外兩邊長(cháng)為a、b由正弦定理有：b=c/sinC*sinB=3/sin60°*sin15°=2√3*sin15°由倍角公式有sin15°=√[（1-cos30°）/2]（注意到sin15°>0）則sin15°=（√6-√2）/4所以b=(3√2-√6)/2又由正弦定由倍角公式有sin15°理有：a=c/sinC*sinA=3/sin60°*sin105°=2√3*sin105°由兩角和正弦公式有sin105°=sin(60°+15°)=sin60°cos45°+cos60°sin45°=（√6+√2）/4所以a=(3√2+√6)/2由面積公式有S⊿ABC=(ab/2)·sinC=3√3/4。
8.高中數學(xué)正弦和余弦定理題目急求解
根據正弦定理，a/sinA=c/sinC，所以a/c=sinA/sinC，代入sinAcosC=3cosAsinC中得： a*cosC=3cosA*c根據余弦定理，cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab,cosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc，所以a*cosC=(a^2+b^2-c^2)/2b,3cosA*c=3(c^2+b^2-a^2)/2b，因為a*cosC=3cosA*c，所以a^2+b^2-c^2=3(c^2+b^2-a^2)，因為a^2-c^2=2b，所以b^2+2b=3(b^2-2b)，即b^2-4b=0，因為b為三角形ABC邊長(cháng)，所以b不等于0所以b=4。
9.關(guān)于正弦定理與余弦定理的題
1。直接用余弦定理
設第三邊為x，則
x^2=5^2+4^2-2*5*4*cos120°=61，即x=√61
2。先運用和差化積、積化和差、倍角公式確定角度
注意到A+B+C=180°，A+B=120°
sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]=2sin[120°/2]*cos[(A-B)/2]=√3cos[(A-B)/2]
sinAsinB=-1/2[cos(A+B)-cos(A-B)]=-1/2[cos120°-cos(A-B)]=1/2cos(A-B)+1/4
因sinA+sinB=2√6sinAsinB
則√3cos[(A-B)/2]=2√6*[1/2cos(A-B)+1/4]
而由倍角公式有cos(A-B)=2cos^2[(A-B)/2]-1，令cos[(A-B)/2]=t，則有
t^2-√2/4-1/4=0
解得t=√2/2或t=-√2/4
即cos[(A-B)/2]=√2/2或cos[(A-B)/2]=-√2/4
因-180°<A-B<180°，即-90°<(A-B)/2<90°
則cos[(A-B)/2]>0，所以cos[(A-B)/2]=√2/2，即|A-B|=90°
令A>B，而A+B=120°
所以A=105°，B=15°
再用正弦定理、倍角公式、兩角和正弦公式確定邊及面積
設另外兩邊長(cháng)為a、b
由正弦定理有：b=c/sinC*sinB=3/sin60°*sin15°=2√3*sin15°
由倍角公式有sin15°=√[（1-cos30°）/2]（注意到sin15°>0）
則sin15°=（√6-√2）/4
所以b=(3√2-√6)/2
又由正弦定由倍角公式有sin15°理有：a=c/sinC*sinA=3/sin60°*sin105°=2√3*sin105°
由兩角和正弦公式有sin105°=sin(60°+15°)=sin60°cos45°+cos60°sin45°=（√6+√2）/4
所以a=(3√2+√6)/2
由面積公式有S⊿ABC=(ab/2)·sinC=3√3/4
