二次函數整理(二次函數知識點(diǎn)歸納)
1.二次函數知識點(diǎn)歸納
二次函數 I.定義與定義表達式 一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數，a≠0，且a決定函數的開(kāi)口方向，a>0時(shí)，開(kāi)口方向向上，a<0時(shí)，開(kāi)口方向向下，IaI還可以決定開(kāi)口大小，IaI越大開(kāi)口就越小，IaI越小開(kāi)口就越大.) 則稱(chēng)y為x的二次函數。
二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。II.二次函數的三種表達式 一般式：y=ax^2;+bx+c(a,b,c為常數，a≠0) 頂點(diǎn)式：y=a(x-h)^2;+k [拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P(h,k)] 交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2) [僅限于與x軸有交點(diǎn)A(x1,0)和 B(x2,0)的拋物線(xiàn)] 注：在3種形式的互相轉化中，有如下關(guān)系：h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a III.二次函數的圖像 在平面直角坐標系中作出二次函數y=x2的圖像，可以看出，二次函數的圖像是一條拋物線(xiàn)。
IV.拋物線(xiàn)的性質(zhì)1.拋物線(xiàn)是軸對稱(chēng)圖形。對稱(chēng)軸為直線(xiàn) x = -b/2a。
對稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)唯一的交點(diǎn)為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P。特別地，當b=0時(shí)，拋物線(xiàn)的對稱(chēng)軸是y軸（即直線(xiàn)x=0）2.拋物線(xiàn)有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標為 P [ -b/2a ,(4ac-b^2;)/4a ]。
當-b/2a=0時(shí)，P在y軸上；當Δ= b^2-4ac=0時(shí)，P在x軸上。3.二次項系數a決定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向和大小。
當a>0時(shí)，拋物線(xiàn)向上開(kāi)口；當a|a|越大，則拋物線(xiàn)的開(kāi)口越小。4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱(chēng)軸的位置。
當a與b同號時(shí)（即ab>0），對稱(chēng)軸在y軸左； 當a與b異號時(shí)（即ab5.常數項c決定拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)。拋物線(xiàn)與y軸交于（0,c）6.拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)個(gè)數 Δ= b^2-4ac>0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。
Δ= b^2-4ac=0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。Δ= b^2-4acV.二次函數與一元二次方程 特別地，二次函數（以下稱(chēng)函數）y=ax^2;+bx+c，當y=0時(shí)，二次函數為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱(chēng)方程），即ax^2;+bx+c=0 此時(shí)，函數圖像與x軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數根。
函數與x軸交點(diǎn)的橫坐標即為方程的根。答案補充 畫(huà)拋物線(xiàn)y=ax2時(shí)，應先列表，再描點(diǎn)，最后連線(xiàn)。
列表選取自變量x值時(shí)常以0為中心，選取便于計算、描點(diǎn)的整數值，描點(diǎn)連線(xiàn)時(shí)一定要用光滑曲線(xiàn)連接，并注意變化趨勢。二次函數解析式的幾種形式（1）一般式：y=ax2+bx+c (a,b,c為常數，a≠0).(2)頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k(a,h,k為常數，a≠0).(3)兩根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標，即一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根，a≠0.說(shuō)明：（1）任何一個(gè)二次函數通過(guò)配方都可以化為頂點(diǎn)式y=a(x-h)2+k，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標是（h,k）,h=0時(shí)，拋物線(xiàn)y=ax2+k的頂點(diǎn)在y軸上；當k=0時(shí)，拋物線(xiàn)a(x-h)2的頂點(diǎn)在x軸上；當h=0且k=0時(shí)，拋物線(xiàn)y=ax2的頂點(diǎn)在原點(diǎn) 答案補充 如果圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，并且對稱(chēng)軸是y軸，則設y=ax^2；如果對稱(chēng)軸是y軸，但不過(guò)原點(diǎn)，則設y=ax^2+k 定義與定義表達式 一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數，a≠0，且a決定函數的開(kāi)口方向，a>0時(shí)，開(kāi)口方向向上，a<0時(shí)，開(kāi)口方向向下。
IaI還可以決定開(kāi)口大小，IaI越大開(kāi)口就越小，IaI越小開(kāi)口就越大。) 則稱(chēng)y為x的二次函數。
二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。x是自變量，y是x的函數 二次函數的三種表達式 ①一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數，a≠0) ②頂點(diǎn)式[拋物線(xiàn)的頂點(diǎn) P(h,k) ]:y=a(x-h)^2+k ③交點(diǎn)式[僅限于與x軸有交點(diǎn) A(x1,0) 和 B(x2,0) 的拋物線(xiàn)]：y=a(x-x1)(x-x2) 以上3種形式可進(jìn)行如下轉化：①一般式和頂點(diǎn)式的關(guān)系 對于二次函數y=ax^2+bx+c，其頂點(diǎn)坐標為（-b/2a,(4ac-b^2)/4a），即 h=-b/2a=(x1+x2)/2 k=(4ac-b^2)/4a ②一般式和交點(diǎn)式的關(guān)系 x1,x2=[-b±√（b^2-4ac）]/2a（即一元二次方程求根公式）。
2.二次函數的知識點(diǎn)歸納
二次函數 I.定義與定義表達式 一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系： y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數，a≠0，且a決定函數的開(kāi)口方向，a>0時(shí)，開(kāi)口方向向上，a<0時(shí)，開(kāi)口方向向下，IaI還可以決定開(kāi)口大小，IaI越大開(kāi)口就越小，IaI越小開(kāi)口就越大.) 則稱(chēng)y為x的二次函數。
二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。 II.二次函數的三種表達式 一般式：y=ax^2;+bx+c(a,b,c為常數，a≠0) 頂點(diǎn)式：y=a(x-h)^2;+k [拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P(h,k)] 交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2) [僅限于與x軸有交點(diǎn)A(x1,0)和 B(x2,0)的拋物線(xiàn)] 注：在3種形式的互相轉化中，有如下關(guān)系： h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a III.二次函數的圖像 在平面直角坐標系中作出二次函數y=x2的圖像， 可以看出，二次函數的圖像是一條拋物線(xiàn)。
IV.拋物線(xiàn)的性質(zhì) 1.拋物線(xiàn)是軸對稱(chēng)圖形。對稱(chēng)軸為直線(xiàn) x = -b/2a。
對稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)唯一的交點(diǎn)為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P。 特別地，當b=0時(shí)，拋物線(xiàn)的對稱(chēng)軸是y軸（即直線(xiàn)x=0） 2.拋物線(xiàn)有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標為 P [ -b/2a ,(4ac-b^2;)/4a ]。
當-b/2a=0時(shí)，P在y軸上；當Δ= b^2-4ac=0時(shí)，P在x軸上。 3.二次項系數a決定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向和大小。
當a>0時(shí)，拋物線(xiàn)向上開(kāi)口；當a|a|越大，則拋物線(xiàn)的開(kāi)口越小。 4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱(chēng)軸的位置。
當a與b同號時(shí)（即ab>0），對稱(chēng)軸在y軸左； 當a與b異號時(shí)（即ab5.常數項c決定拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)。 拋物線(xiàn)與y軸交于（0,c） 6.拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)個(gè)數 Δ= b^2-4ac>0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。
Δ= b^2-4ac=0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。 Δ= b^2-4acV.二次函數與一元二次方程 特別地，二次函數（以下稱(chēng)函數）y=ax^2;+bx+c， 當y=0時(shí)，二次函數為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱(chēng)方程）， 即ax^2;+bx+c=0 此時(shí)，函數圖像與x軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數根。
函數與x軸交點(diǎn)的橫坐標即為方程的根。 答案補充 畫(huà)拋物線(xiàn)y=ax2時(shí)，應先列表，再描點(diǎn)，最后連線(xiàn)。
列表選取自變量x值時(shí)常以0為中心，選取便于計算、描點(diǎn)的整數值，描點(diǎn)連線(xiàn)時(shí)一定要用光滑曲線(xiàn)連接，并注意變化趨勢。 二次函數解析式的幾種形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c (a,b,c為常數，a≠0). (2)頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k(a,h,k為常數，a≠0). (3)兩根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標，即一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根，a≠0. 說(shuō)明：（1）任何一個(gè)二次函數通過(guò)配方都可以化為頂點(diǎn)式y=a(x-h)2+k，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標是（h,k）,h=0時(shí)，拋物線(xiàn)y=ax2+k的頂點(diǎn)在y軸上；當k=0時(shí)，拋物線(xiàn)a(x-h)2的頂點(diǎn)在x軸上；當h=0且k=0時(shí)，拋物線(xiàn)y=ax2的頂點(diǎn)在原點(diǎn) 答案補充 如果圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，并且對稱(chēng)軸是y軸，則設y=ax^2；如果對稱(chēng)軸是y軸，但不過(guò)原點(diǎn)，則設y=ax^2+k定義與定義表達式 一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系： y=ax^2+bx+c (a,b,c為常數，a≠0，且a決定函數的開(kāi)口方向，a>0時(shí)，開(kāi)口方向向上，a<0時(shí)，開(kāi)口方向向下。
IaI還可以決定開(kāi)口大小，IaI越大開(kāi)口就越小，IaI越小開(kāi)口就越大。) 則稱(chēng)y為x的二次函數。
二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。 x是自變量，y是x的函數 二次函數的三種表達式 ①一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數，a≠0) ②頂點(diǎn)式[拋物線(xiàn)的頂點(diǎn) P(h,k) ]:y=a(x-h)^2+k ③交點(diǎn)式[僅限于與x軸有交點(diǎn) A(x1,0) 和 B(x2,0) 的拋物線(xiàn)]：y=a(x-x1)(x-x2) 以上3種形式可進(jìn)行如下轉化： ①一般式和頂點(diǎn)式的關(guān)系 對于二次函數y=ax^2+bx+c，其頂點(diǎn)坐標為（-b/2a,(4ac-b^2)/4a），即 h=-b/2a=(x1+x2)/2 k=(4ac-b^2)/4a ②一般式和交點(diǎn)式的關(guān)系 x1,x2=[-b±√（b^2-4ac）]/2a（即一元二次方程求根公式）。
3.二次函數知識點(diǎn)
★二次函數知識點(diǎn)歸納★ 一、二次函數的幾種形式：1. 的性質(zhì)：的圖像及性質(zhì) 的符號 草圖 開(kāi)口方向 向上 向下 頂點(diǎn) 坐標 對稱(chēng)軸 軸（直線(xiàn)x=0） 軸（直線(xiàn)x=0） 增減性 時(shí)，隨的增大而減小 時(shí)，隨的增大而增大 時(shí)，隨的增大而增大 時(shí)，隨的增大而減小 最值 時(shí)，有最小值. 時(shí)，有最大值. 開(kāi)口 大小 越大，拋物線(xiàn)的開(kāi)口越小2. 的性質(zhì)：的圖像及性質(zhì) 的符號 草圖 開(kāi)口方向 向上 向下 頂點(diǎn)坐標 對稱(chēng)軸 軸（直線(xiàn)x=0） 軸（直線(xiàn)x=0） 增減性 時(shí)，隨的增大而減小 時(shí)，隨的增大而增大 時(shí)，隨的增大而增大 時(shí)，隨的增大而減小 最值 時(shí)，有最小值. 時(shí)，有最大值. 平移規律 上加下減3. 的性質(zhì)：的圖像及性質(zhì) 的符號 草圖 開(kāi)口方向 向上 向下 頂點(diǎn)坐標 對稱(chēng)軸 直線(xiàn)x=h 直線(xiàn)x=h 增減性 時(shí)，隨的增大而減小 時(shí)，隨的增大而增大 時(shí)，隨的增大而增大 時(shí)，隨的增大而減小 最值 時(shí)，有最小值. 時(shí)，有最大值 平移規律 左加右減。
4. 的性質(zhì)：的圖像及性質(zhì) 的符號 草圖 開(kāi)口方向 向上 向下 頂點(diǎn)坐標 對稱(chēng)軸 直線(xiàn)x=h 直線(xiàn)x=h 增減性 時(shí)，隨的增大而減小 時(shí)，隨的增大而增大 時(shí)，隨的增大而增大 時(shí)，隨的增大而減小 最值 時(shí)，有最小值. 時(shí)，有最大值. 平移規律 左加右減，上加下減5、的性質(zhì) 二次函數 的符號 草圖 開(kāi)口方向 向上 向下 頂點(diǎn) 坐標 （，） （，） 對稱(chēng)軸 直線(xiàn)X= 直線(xiàn)X= 增減性 x時(shí)，隨的增大而增大 x時(shí)，隨的增大而減小 最值 當x=時(shí)，y有最小值， 當x=時(shí)，y有最大值，平移規律 左加右減，上加下減 二、二次函數的圖象與各項系數之間的關(guān)系1、拋物線(xiàn)與軸交點(diǎn)：（由的值來(lái)決定） 與軸總有交點(diǎn)坐標為，；的值 與軸交點(diǎn) 草圖 與軸交點(diǎn)在軸上方 與軸交點(diǎn)為坐標原點(diǎn) 與軸交點(diǎn)在軸下方 2、拋物線(xiàn)與軸交點(diǎn)：（由b2-4ac的值來(lái)決定） 求與軸的交點(diǎn)坐標，需解一元二次方程；判別式 拋物線(xiàn)與軸交點(diǎn)情況 一元二次方程跟的情況 與軸有兩個(gè)交點(diǎn) 有兩個(gè)不相等實(shí)根 與軸只有一個(gè)交點(diǎn) 有兩個(gè)相等的實(shí)數根 與軸無(wú)交點(diǎn) 無(wú)實(shí)數根.3、對稱(chēng)軸情況：（由a、b的值共同決定） 由、共同決定 對稱(chēng)軸情況 草圖 在軸左側 是軸 軸的右側 也可由的符號判定：對稱(chēng)軸在軸左邊則，在軸的右側則，概括的說(shuō)就是“左同右異” 三、二次函數解析式的確定： ①. 一般式：； ②. 頂點(diǎn)式：； ③. 兩根式：. 根據已知條件確定二次函數解析式，通常利用待定系數法.用待定系數法求二次函數的解析式必須根據題目的特點(diǎn)，選擇適當的形式，才能使解題簡(jiǎn)便.一般來(lái)說(shuō)，有如下幾種情況：1. 已知拋物線(xiàn)上三點(diǎn)的坐標，一般選用一般式；2. 已知拋物線(xiàn)頂點(diǎn)或對稱(chēng)軸或最大（小）值，一般選用頂點(diǎn)式；3. 已知拋物線(xiàn)與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標，一般選用兩根式；4. 已知拋物線(xiàn)上縱坐標相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式. —————————————————————————————— 一元二次函數知識點(diǎn)匯總1.定義：一般地，如果是常數，，那么叫做的一元二次函數.2.二次函數的性質(zhì)（1）拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，對稱(chēng)軸是軸.（2）函數的圖像與的符號關(guān)系： ①當時(shí)拋物線(xiàn)開(kāi)口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；②當時(shí)拋物線(xiàn)開(kāi)口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn)3.二次函數 的圖像是對稱(chēng)軸平行于（包括重合）軸的拋物線(xiàn).4.二次函數用配方法可化成：的形式，其中.5.拋物線(xiàn)的三要素：開(kāi)口方向、對稱(chēng)軸、頂點(diǎn). ①決定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向： 當時(shí)，開(kāi)口向上；當時(shí)，開(kāi)口向下；越小，拋物線(xiàn)的開(kāi)口越大，越大，拋物線(xiàn)的開(kāi)口越小。 ②對稱(chēng)軸為平行于軸（或重合）的直線(xiàn)，記作.特別地，軸記作直線(xiàn). ③定點(diǎn)是拋物線(xiàn)的最值點(diǎn)[最大值（時(shí)）或最小值（時(shí)）]，坐標為（，）。
6.求拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)、對稱(chēng)軸的方法（1）公式法：，∴頂點(diǎn)是，對稱(chēng)軸是直線(xiàn).（2）配方法：運用配方法將拋物線(xiàn)的解析式化為的形式，得到頂點(diǎn)為（，），對稱(chēng)軸是. （3）運用拋物線(xiàn)的對稱(chēng)性：由于拋物線(xiàn)是以對稱(chēng)軸為軸的軸對稱(chēng)圖形，所以?huà)佄锞€(xiàn)上縱坐標相等的兩個(gè)點(diǎn)連線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)是拋物線(xiàn)的對稱(chēng)軸，對稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)是頂點(diǎn).★用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或對稱(chēng)性進(jìn)行驗證，才能做到萬(wàn)無(wú)一失★7.拋物線(xiàn)中，的作用（1）決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大小，這與中的完全一樣.（2）和共同決定拋物線(xiàn)對稱(chēng)軸的位置.由于拋物線(xiàn)的對稱(chēng)軸是直線(xiàn)，故： ①時(shí)，對稱(chēng)軸為軸；②時(shí)，對稱(chēng)軸在軸左側；③時(shí)，對稱(chēng)軸在軸右側.（3）的大小決定拋物線(xiàn)與軸交點(diǎn)的位置. 當時(shí)，，∴拋物線(xiàn)與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0，）：，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)； ②，與軸交于正半軸；③，與軸交于負半軸.以上三點(diǎn)中，當結論和條件互換時(shí)仍成立.如拋物線(xiàn)的對稱(chēng)軸在軸右側，則 .8. 二次函數由特殊到一般，可分為以下幾種形式： ①；②；③；④；⑤.圖像特征如下：函數解析式 開(kāi)口方向 對稱(chēng)軸 頂點(diǎn)坐標 當時(shí) 開(kāi)口向上 當時(shí) 開(kāi)口向下 （軸） （0,0） （軸） （0, ） (,0) (,) ()9.用待定系數法求二次函數的解析式 （1）一般式：.已知圖像上三點(diǎn)或三對、的值，通常選擇一般式. （2）頂點(diǎn)式：.已知圖像的頂點(diǎn)或對稱(chēng)軸，通常選擇頂點(diǎn)式. （3）交點(diǎn)式：已知圖像與軸的交點(diǎn)坐標、，通常選用交點(diǎn)式：.10.直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)（或稱(chēng)二次函數與一次函數關(guān)系） （1）軸與拋物線(xiàn)得交點(diǎn)為（） （2）與軸平行的直。
4.二次函數的知識點(diǎn)有哪些
二次函數的知識點(diǎn)1.二次函數的定義：y=ax^2+bx+c(a≠0)2.圖像和性質(zhì)：二次函數y=ax^2(a>0)的圖像和性質(zhì)；二次函數y=ax^2(a0)的圖像和性質(zhì)；二次函數y=ax^2+bx+c(a<0)的圖像和性質(zhì).圖像：列對應值描點(diǎn)作圖法； 根據對稱(chēng)性作圖法.圖像的開(kāi)口方向，頂點(diǎn)坐標，與坐標軸的交點(diǎn)坐標.性質(zhì)：對稱(chēng)性，對稱(chēng)軸及方程； 單調性，單調區間；最大值，最小值.3.二次函數y=ax^2+bx+c(a≠0)三種形式及應用：一般式：y=ax^2+bx+c(a≠0)頂點(diǎn)式：y=a(x-r)^2+h兩點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2)4.二次函數y=ax^2+bx+c(a≠0)的平移變換5.常用方法：配方法.待定系數法。
5.二次函數完整的知識點(diǎn)
定義與定義表達式 我們把形如y=ax^2+bx+c（其中a,b,c是常數，a≠0）的函數叫做二次函數（quadratic function），稱(chēng)a為二次項系數，b為一次項系數，c為常數項。
一般的，形如y=ax^2+bx+c(a≠0)的函數叫二次函數。自變量（通常為x）和因變量（通常為y）。
右邊是整式，且自變量的最高次數是2。 注意，“變量”不同于“未知數”，不能說(shuō)“二次函數是指未知數的最高次數為二次的多項式函數”。
未知數只是一個(gè)數（具體值未知，但是只取一個(gè)值），變量可在一定范圍內任意取值。在方程中適用“未知數”的概念（函數方程、微分方程中是未知函數，但不論是未知數還是未知函數，一般都表示一個(gè)數或函數——也會(huì )遇到特殊情況），但是函數中的字母表示的是變量，意義已經(jīng)有所不同。
從函數的定義也可看出二者的差別。二次函數的解法 二次函數的通式是 y= ax^2+bx+c如果知道三個(gè)點(diǎn) 將三個(gè)點(diǎn)的坐標帶入也就是說(shuō)三個(gè)方程解三個(gè)未知數 如題方程一8=a2+b2+c 化簡(jiǎn) 8=c 也就是說(shuō)c就是函數與Y軸的交點(diǎn)。
方程二7=a*36+b*6+c 化簡(jiǎn) 7=36a+6b+c。 方程三7=a*(-6)2+b*(-6)+c化簡(jiǎn) 7=36a-6b+c。
解出a,b,c 就可以了 。 上邊這種是老老實(shí)實(shí)的解法 。
對（6,7）(-6,7)這兩個(gè)坐標 可以求出一個(gè)對稱(chēng)軸也就是X=0 。 通過(guò)對稱(chēng)軸公式x=-b/2a 也可以算 。
如果知道過(guò)x軸的兩個(gè)坐標（y=0的兩個(gè)坐標的值叫做這個(gè)方程的兩個(gè)根）也可以用對稱(chēng)軸公式x=-b/2a算 。 或者使用韋達定理一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中 。
設兩個(gè)根為X1和X2 則X1+X2= -b/a X1·X2=c/a一般式 y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數)，頂點(diǎn)坐標為（-b/2a,4ac-b^2;/4a）頂點(diǎn)式 y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k為常數)，頂點(diǎn)坐標為（h,k）對稱(chēng)軸為x=h，頂點(diǎn)的位置特征和圖像的開(kāi)口方向與函數y=ax^2的圖像相同，有時(shí)題目會(huì )指出讓你用配方法把一般式化成頂點(diǎn)式交點(diǎn)式 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [僅限于與x軸即y=0有交點(diǎn)A(x1,0)和 B(x2,0)的拋物線(xiàn)，即b^2-4ac≥0] 由一般式變?yōu)榻稽c(diǎn)式的步驟：二次函數（16張） ∵X1+x2=-b/a x1·x2=c/a ∴y=ax^2+bx+c =a(x^2+b/ax+c/a) =a[﹙x2-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2) 重要概念：a,b,c為常數，a≠0，且a決定函數的開(kāi)口方向。a>0時(shí)，開(kāi)口方向向上；a<0時(shí)，開(kāi)口方向向下。
a的絕對值可以決定開(kāi)口大小。a的絕對值越大開(kāi)口就越小，a的絕對值越小開(kāi)口就越大。
牛頓插值公式（已知三點(diǎn)求函數解析式） y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)+(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3)。由此可引導出交點(diǎn)式的系數a=y1/(x1·x2)(y1為截距) 求根公式二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。
求根公式 x是自變量，y是x的二次函數 x1,x2=[-b±（√（b^2-4ac）]/2a （即一元二次方程求根公式）（如右圖） 求根的方法還有因式分解法和配方法 二次函數與X軸交點(diǎn)的情況 當△=b^2-4ac>0時(shí)， 函數圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)。 當△=b^2-4ac=0時(shí)，函數圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)。
當△=b^2-4ac<0時(shí)，函數圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。編輯本段圖像 在平面直角坐標系中作出二次函數y=ax^2+bx+c的圖像， 可以看出，二次函數的圖像是一條永無(wú)止境的拋物線(xiàn)。
如果所畫(huà)圖形準確無(wú)誤，那么二次函數圖像將是由一般式平移得到的。 注意：草圖要有 1本身圖像，旁邊注明函數。
2畫(huà)出對稱(chēng)軸，并注明直線(xiàn)X=什么 （X= -b/2a） 3與X軸交點(diǎn)坐標 （x1,y1）;(x2, y2)，與Y軸交點(diǎn)坐標（0,c），頂點(diǎn)坐標（-b/2a, (4ac-bx2/4a).軸對稱(chēng) 1.二次函數圖像是軸對稱(chēng)圖形。對稱(chēng)軸為直線(xiàn)x = h或者x=-b/2a 對稱(chēng)軸與二次函數圖像唯一的交點(diǎn)為二次函數圖像的頂點(diǎn)P。
特別地，當h=0時(shí)，二次函數圖像的對稱(chēng)軸是y軸（即直線(xiàn)x=0） a,b同號，對稱(chēng)軸在y軸左側 b=0，對稱(chēng)軸是y軸 a,b異號，對稱(chēng)軸在y軸右側頂點(diǎn) 2.二次函數圖像有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標為P ( h,k ) 當h=0時(shí)，P在y軸上；當k=0時(shí)，P在x軸上。即可表示為頂點(diǎn)式y=a(x-h)^2;+k h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a開(kāi)口 3.二次項系數a決定二次函數圖像的開(kāi)口方向和大小。
當a>0時(shí)，二次函數圖像向上開(kāi)口；當a<0時(shí)，拋物線(xiàn)向下開(kāi)口。 |a|越大，則二次函數圖像的開(kāi)口越小。
決定對稱(chēng)軸位置的因素 4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱(chēng)軸的位置。 當a>0，與b同號時(shí)（即ab>0），對稱(chēng)軸在y軸左； 因為對稱(chēng)軸在左邊則對稱(chēng)軸小于0，也就是- b/2a0，與b異號時(shí)（即ab<0），對稱(chēng)軸在y軸右。
因為對稱(chēng)軸在右邊則對稱(chēng)軸要大于0，也就是- b/2a>0， 所以b/2a要小于0，所以a、b要異號 可簡(jiǎn)單記憶為同左異右，即當a與b同號時(shí)（即ab>0），對稱(chēng)軸在y軸左；當a與b異號時(shí)（即ab<0 ），對稱(chēng)軸在y軸右。 事實(shí)上，b有其自身的幾何意義：二次函數圖像與y軸的交點(diǎn)處的該二次函數圖像切線(xiàn)的函數解析式（一次函數）的 斜率k的值。
可通過(guò)對二次函數求導得到。決定二次函數圖像與y軸交點(diǎn)的因素 5.常數項c決定二次函數圖像與y軸交點(diǎn)。
二次函數圖像與y軸交于（0,C） 注意：頂點(diǎn)坐標為（h,k） 與y軸交于（0,C）二次函數圖。
6.二次函數知識點(diǎn)歸納
a > 0： 三者均開(kāi)口向上；對稱(chēng)軸分別為x = 0, x = 0, x = h頂點(diǎn)分別為（0, 0）, (0, k), (h, k)最值為頂點(diǎn)的縱坐標，分別為0, 0, k （均為最小值）前二者在x0時(shí)為增函數；第三者xh時(shí)為增函數a < 0三者均開(kāi)口向下對稱(chēng)軸分別為x = 0, x = 0, x = h頂點(diǎn)分別為（0, 0）, (0, k), (h, k)最值為頂點(diǎn)的縱坐標，分別為0, 0, k （均為最大值）前二者在x0時(shí)為減函數；第三者xh時(shí)為減函數y = a(x-h)2+kh > 0,k>0 : y = a(x-h)2+k是從y=ax2向右平移h個(gè)單位，再向上平移k個(gè)單位得到的h > 0,k<0 : y = a(x-h)2+k是從y=ax2向右平移h個(gè)單位，再向下平移-k個(gè)單位得到的h 0 : y = a(x-h)2+k是從y=ax2向左平移-h個(gè)單位，再向上平移k個(gè)單位得到的h < 0,k<0 : y = a(x-h)2+k是從y=ax2向左平移-h個(gè)單位，再向下平移-k個(gè)單位得到的。
