悖論(悖論來源于哪里)
1.悖論來源于哪里
悖論[漢語拼音] bèilùn[英文]paradox[簡要解釋] 邏輯學(xué)和數(shù)學(xué)中的“矛盾命題”[其他詳盡解釋]也可叫“逆論”，或“反論”，是指一種導(dǎo)致矛盾的命題。
悖論有點(diǎn)像魔術(shù)中的變戲法，它使人們在看完之后，幾乎沒有—個(gè)不驚訝得馬上就想知道：“這套戲法是怎么搞成的？”當(dāng)把技巧告訴他時(shí)，他就會(huì)不知不覺地被引進(jìn)深?yuàn)W而有趣的數(shù)學(xué)世界之中。正因?yàn)槿绱耍Ｕ摼统闪艘环N十分有價(jià)值的教學(xué)手段。
悖論是屬于領(lǐng)域廣闊、定義嚴(yán)格的數(shù)學(xué)分支的一個(gè)組成部分，這一分支以“趣味數(shù)學(xué)”知名于世。這就是說它帶有強(qiáng)烈的游戲色彩。
然而，切莫以為大數(shù)學(xué)家都看不起“趣味數(shù)學(xué)”問題。歐拉就是通過對(duì)bridge-crossing之謎的分析打下了拓?fù)鋵W(xué)的基礎(chǔ)。
萊布尼茨也寫到過他在獨(dú)自玩插棍游戲（一種在小方格中插小木條的游戲）時(shí)分析問題的樂趣。希爾伯特證明了切割幾何圖形中的許多重要定理。
馮·紐曼奠基了博弈論。最受大眾歡迎的計(jì)算機(jī)游戲—生命是英國著名數(shù)學(xué)家康威發(fā)明的。
愛因斯坦也收藏了整整一書架關(guān)于數(shù)學(xué)游戲和數(shù)學(xué)謎的書。悖論（paradox）來自希臘語“para+dokein”，意思是“多想一想”。
這個(gè)詞的意義比較豐富，它包括一切與人的直覺和日常經(jīng)驗(yàn)相矛盾的數(shù)學(xué)結(jié)論，那些結(jié)論會(huì)使我們驚異無比。 悖論是自相矛盾的命題。
即如果承認(rèn)這個(gè)命題成立，就可推出它的否定命題成立；反之，如果承認(rèn)這個(gè)命題的否定命題成立，又可推出這個(gè)命題成立 如果承認(rèn)它是真的，經(jīng)過一系列正確的推理，卻又得出它是假的；如果承認(rèn)它是假的，經(jīng)過一系列正確的推理，卻又得出它是真的。 古今中外有不少著名的悖論，它們震撼了邏輯和數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，激發(fā)了人們求知和精密的思考，吸引了古往今來許多思想家和愛好者的注意力。
解決悖論難題需要?jiǎng)?chuàng)造性的思考，悖論的解決又往往可以給人帶來全新的觀念。 例如比較有名的理發(fā)師悖論：某鄉(xiāng)村有一位理發(fā)師，一天他宣布：只給不自己刮胡子的人刮胡子。
這里就產(chǎn)生了問題：理發(fā)師給不給自己刮胡子？如果他給自己刮胡子，他就是自己刮胡子的人，按照他的原則，他不能給自己刮胡子；如果他不給自己刮胡子，他就是不自己刮胡子的人，按照他的原則，他就應(yīng)該給自己刮胡子。這就產(chǎn)生了矛盾。
1900年前后，在數(shù)學(xué)的集合論中出現(xiàn)了三個(gè)著名悖論，理發(fā)師悖論就是羅素悖論的一種通俗表達(dá)方式。此外還有康托爾悖論、布拉利—福爾蒂悖論。
這些悖論特別是羅素悖論，在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界與邏輯界內(nèi)引起了極大震動(dòng)。觸發(fā)了數(shù)學(xué)的第三次危機(jī)。
悖論有三種主要形式。1.一種論斷看起來好像肯定錯(cuò)了，但實(shí)際上卻是對(duì)的（佯謬）。
2.一種論斷看起來好像肯定是對(duì)的，但實(shí)際上卻錯(cuò)了（似是而非的理論）。3.一系列推理看起來好像無懈可擊，可是卻導(dǎo)致邏輯上自相矛盾。
悖論有以下幾類：邏輯悖論、概率悖論、幾何悖論、統(tǒng)計(jì)悖論和時(shí)間悖論等。歷史上著名的悖論 NO.1 說謊者悖論（1iar paradox or Epimenides' paradox） 最古老的語義悖論。
公元前6世紀(jì)古希臘哲學(xué)家伊壁孟德 所創(chuàng)的四個(gè)悖論之一。是關(guān)于“我正在撒謊”的悖論。
具體為：如果他的確正在撒謊，那么這句話是真的，所以伊壁孟德不在撤謊，如果他不在撒謊，那么這句話是假的，因而伊壁孟德正在撒謊。 NO.2 伊勒克特拉悖論（Eletra paradox） 邏輯史上最早的內(nèi)涵悖論。
由古希臘斯多亞學(xué)派提出。它的基本內(nèi)容是：伊勒克特拉有位哥哥奧列斯特回家了.盡管伊勒支持拉知道奧列斯特是她的哥哥.但她并不認(rèn)識(shí)站在她面前的這個(gè)男人。
寫成一個(gè)推理.即： 伊勒克持拉不知道站在她面前的這個(gè)人是她的哥哥。 伊勒克持拉知道奧列期特是她的哥哥。
站在她面前的人是奧列期特。 所以，伊勒克持拉既知道并且又不知道這個(gè)人是她的 哥哥。
NO.3 M：著名的理發(fā)師悖論是伯特納德·羅素提出的。一個(gè)理發(fā)師的招牌上寫著： 告示：城里所有不自己刮臉的男人都由我給他們刮臉，我也只給這些人刮臉。
M：誰給這位理發(fā)師刮臉呢？ M：如果他自己刮臉，那他就屬于自己刮臉的那類人。但是，他的招牌說明他不給這類人刮臉，因此他不能自己來刮。
M：如果另外一個(gè)人來給他刮臉，那他就是不自己刮臉的人。但是，他的招牌說他要給所有這類人刮臉。
因此其他任何人也不能給他刮臉。看來，沒有任何人能給這位理發(fā)師刮臉了！ NO.4 唐·吉訶德悖論 M：小說《唐·吉訶德》里描寫過一個(gè)國家.它有一條奇怪的法律：每一個(gè)旅游者都要回答一個(gè)問題。
問，你來這里做什么？ M：如果旅游者回答對(duì)了。一切都好辦。
如果回答錯(cuò)了，他就要被絞死。 M：一天，有個(gè)旅游者回答—— 旅游者：我來這里是要被絞死。
M：這時(shí)，衛(wèi)兵也和鱷魚一樣慌了神，如果他們不把這人絞死，他就說錯(cuò)了，就得受絞刑?？墒牵绻麄兘g死他，他就說對(duì)了，就不應(yīng)該絞死他。
2.悖論的例子
兩分法悖論 “在你穿過一段距離之前，必先穿過這個(gè)距離的一半?！?/p>
意思是說向著一個(gè)目的地運(yùn)動(dòng)的物體，首先必須經(jīng)過路程的中點(diǎn)；然而要經(jīng)過這點(diǎn)，又必須先經(jīng)過路程的四分之一點(diǎn)；要過四分之一點(diǎn)又必須首先通過八分之一點(diǎn)等等，如此類推，以至無窮。由此得出的結(jié)論就是：運(yùn)動(dòng)是不可窮盡的過程，運(yùn)動(dòng)永遠(yuǎn)不可能有開始。
阿基里斯追龜 “阿基里斯追不上烏龜”是古希臘的一個(gè)哲學(xué)故事。阿基里斯是當(dāng)時(shí)的一個(gè)善于長跑的人。
阿基里斯當(dāng)然能夠追上烏龜，用方程可以來解決。假設(shè)阿基里斯的速度為a，烏龜?shù)乃俣葹閎，阿基里斯開始追趕烏龜?shù)臅r(shí)候，烏龜在阿基里斯的前面，假設(shè)這段距離為c，請(qǐng)問需要多少時(shí)間阿基里斯可以追上烏龜。
設(shè)所需要的時(shí)間為x，那么ax=bx+c, x=c/(a-b).由于a b c都是常數(shù)，x當(dāng)然可以求得一個(gè)解。當(dāng)然如果a b 的差如果很小，那么解可以趨于無窮大。
但是在這個(gè)哲學(xué)故事里面和這個(gè)問題卻毫無關(guān)系，在這個(gè)故事里面說阿基里斯追不上烏龜是說，不論阿基里斯比烏龜跑得有多快，他都追不上。 但是當(dāng)我們引入無限分割的問題時(shí)，馬上出現(xiàn)了變化。
如果我們故意這樣思考：阿基里斯在追趕烏龜?shù)倪^程中，或者追上烏龜之前，必須先走完烏龜當(dāng)前已經(jīng)超過他的距離。（這不是假設(shè)，而是確實(shí)應(yīng)該的事情。
但是這種思維方式卻是假定的，你可以用這樣的思維方式，也可以不用。一旦用了這樣的思維方式，就會(huì)使思維過程沒有完結(jié)，從而使得阿基里斯追不上烏龜。）
按照這種思維方式，當(dāng)阿基里斯走完烏龜超過他的距離后，烏龜在這段時(shí)間里也前進(jìn)了一段距離，雖然愈來愈小。每次這樣的思維，結(jié)果都是一樣的，在這個(gè)過程中，邏輯并沒有犯錯(cuò)。
我們可以把這樣的思考無限循環(huán)下去，而且烏龜繼續(xù)前進(jìn)的距離永遠(yuǎn)不會(huì)是零，雖然趨向無窮小，那么可以用形式邏輯的方法，推出這樣的結(jié)論：阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜。 以上的問題怎么解決呢？ 或許可以用微積分的方法。
阿基里斯追不上烏龜?shù)墓适轮?，?shí)際涉及到：對(duì)有限空間在有限時(shí)間內(nèi)以無限速度作無限分割。這個(gè)分割實(shí)際就是無窮小，我們完全可以規(guī)定這個(gè)無窮小等于0，因此只要出現(xiàn)無窮小的現(xiàn)象或情況，我們就可以認(rèn)為0要出現(xiàn)，事物的變化就有確定性。
或許我們和古人的區(qū)別在于，我們認(rèn)為無窮小是0，而古人認(rèn)為無窮小是永遠(yuǎn)不能等于0。古人他們太認(rèn)真了，他們會(huì)想，無窮小僅僅是無窮小，怎么會(huì)是0呢，相反它永遠(yuǎn)也不會(huì)是0。
實(shí)際上無窮小是一個(gè)完整的概念，一旦把它有限化，那么它就不是零了。要找到0與非0之間的界限，實(shí)際上還是用有限的方式，去思維無限的對(duì)象，或者把有限的事物予以無限化。
飛矢不動(dòng) “飛矢不動(dòng)”：飛著的箭在任何瞬間都是既非靜止又非運(yùn)動(dòng)的。如果瞬間是不可分的，箭就不可能運(yùn)動(dòng)，因?yàn)槿绻鼊?dòng)了，瞬間就立即是可以分的了。
但是時(shí)間是由瞬間組成的，如果箭在任何瞬間都是不動(dòng)的，則箭總是保持靜止。所以飛出的箭不能處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。
芝諾問他的學(xué)生：“一支射出的箭是動(dòng)的還是不動(dòng)的？” “那還用說，當(dāng)然是動(dòng)的。” “確實(shí)是這樣，在每個(gè)人的眼里它都是動(dòng)的。
可是，這支箭在每一個(gè)瞬間里都有它的位置嗎？” “有的，老師?！?“在這一瞬間里，它占據(jù)的空間和它的體積一樣嗎？” “有確定的位置，又占據(jù)著和自身體積一樣大小的空間?！?/p>
“那么，在這一瞬間里，這支箭是動(dòng)的，還是不動(dòng)的？” “不動(dòng)的，老師” “這一瞬間是不動(dòng)的，那么其他瞬間呢？” “也是不動(dòng)的，老師” “所以，射出去的箭是不動(dòng)的？” 游行隊(duì)伍悖論 游行隊(duì)伍悖論是古希臘數(shù)學(xué)家芝諾（Zeno of Elea）提出的一系列關(guān)于運(yùn)動(dòng)的不可分性的哲學(xué)悖論中的一個(gè)，屬于芝諾悖論。這些悖論由于被記錄在亞里士多德的《物理學(xué)》一書中而為后人所知。
芝諾提出這些悖論是為了支持他老師巴門尼德關(guān)于“存在”不動(dòng)、是一的學(xué)說。這些悖論中最著名的兩個(gè)是：“阿喀琉斯跑不過烏龜”和“飛矢不動(dòng)”。
這些方法現(xiàn)在可以用微積分（無限）的概念解釋。 首先假設(shè)在操場上，在一瞬間（一個(gè)最小時(shí)間單位）里，相對(duì)于觀眾席A，列隊(duì)B、C將分別各向右和左移動(dòng)一個(gè)距離單位。
□□□□□□□□ 觀眾席A ■■■■■■■■隊(duì)列B……向右移動(dòng) ●●●●●●●● 隊(duì)列C……向左移動(dòng) 初始狀態(tài)： □□□□□□□□ ■■■■■■■■ ●●●●●●●● B、C兩個(gè)列隊(duì)開始移動(dòng)，如下圖所示相對(duì)于觀眾席A,B和C分別向右和左各移動(dòng)了一個(gè)距離單位。 □□□□□□□□ ■■■■■■■■ ●●●●●●●● 而此時(shí)，對(duì)B而言C移動(dòng)了兩個(gè)距離單位。
也就是，隊(duì)列既可以在一瞬間（一個(gè)最小時(shí)間單位）里移動(dòng)一個(gè)距離單位，也可以在半個(gè)最小時(shí)間單位里移動(dòng)一個(gè)距離單位，這就產(chǎn)生了半個(gè)時(shí)間單位等于一個(gè)時(shí)間單位的矛盾。因此隊(duì)列是移動(dòng)不了的。
錢包悖論 謊言者悖論 集合論悖論 辛普森悖論 蘇格拉底悖論 書目悖論 唐·吉訶德悖論。
3.誰有有關(guān)悖論的故事
【悖論引發(fā)的第三次數(shù)學(xué)危機(jī)】
1900年，國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，法國著名數(shù)學(xué)家龐加萊就曾興高采烈地宣稱：“………借助集合論概念，我們可以建造整個(gè)數(shù)學(xué)大廈……今天，我們可以說絕對(duì)的嚴(yán)格性已經(jīng)達(dá)到了……” 可是，好景不長。 羅素構(gòu)造了一個(gè)集合S:S由一切不是自身元素的集合所組成。然后羅素問：S是否屬于S呢？根據(jù)排中律，一個(gè)元素或者屬于某個(gè)集合，或者不屬于某個(gè)集合。因此，對(duì)于一個(gè)給定的集合，問是否屬于它自己是有意義的。但對(duì)這個(gè)看似合理的問題的回答卻會(huì)陷入兩難境地。如果S屬于S，根據(jù)S的定義，S就不屬于S；反之，如果S不屬于S，同樣根據(jù)定義，S就屬于S。無論如何都是矛盾的。
4.悖論的例子
我在說謊
你說呢
自相矛盾就是一個(gè)
城里所有不自己刮臉的男人都由我給他們刮臉，我也只給這些人刮臉
那么誰給這位理發(fā)師刮臉呢？
殺手的悖論
我是個(gè)殺手，這個(gè)秘密只能讓我的雇主知道，否則官府會(huì)將我抓起來法辦。在開始
我的殺手生涯之前，我意識(shí)到這是個(gè)地下工作，保密要求高，我不能當(dāng)街叫賣、不能自
插草簽；但我又得讓我的潛在雇主知道我的存在，不然我接不到生意。
還有：
一位調(diào)查員受托去A、B、C三所中學(xué)調(diào)查學(xué)生訂閱《中學(xué)生數(shù)學(xué)》的情況，他很快統(tǒng)計(jì)出，A校男生訂閱的比例比女生訂閱的比例要大些，對(duì)B校和C校的調(diào)查也得出同樣的結(jié)果.于是他擬寫了一個(gè)簡要報(bào)道，稱由抽取的三所學(xué)校的調(diào)查數(shù)據(jù)看，中學(xué)生中男生訂閱《中學(xué)生數(shù)學(xué)》的比例比女生大.后來，他又把三所學(xué)校的學(xué)生合起來作了一遍統(tǒng)計(jì)復(fù)核，匪夷所思的事情發(fā)生了，這時(shí)他得出的統(tǒng)計(jì)結(jié)果令他大吃一驚，原來訂閱《中學(xué)生數(shù)學(xué)》的所有學(xué)生中，女生的比例比男生要大些，怎么會(huì)是這樣呢？這就象在玩一個(gè)魔術(shù)，少的變多了，多的變少了.你能幫他找找原因嗎？
一位美國數(shù)學(xué)家來到一個(gè)賭場，隨便叫住兩個(gè)賭客，要教給他們一種既簡單又掙錢的賭法.方法是，兩個(gè)人把身上的錢都掏出來，數(shù)一數(shù)，誰的錢少就可以贏得錢多的人的全部錢.賭徒甲想，如果我身上的錢比對(duì)方多，我就會(huì)輸?shù)暨@些錢，但是，如果對(duì)方的錢比我多，我就會(huì)贏得多于我?guī)У腻X數(shù)的錢，所以我贏的肯定要比輸?shù)亩?而我倆帶的錢誰多誰少是隨機(jī)的，可能性是一半對(duì)一半，因此這種賭法對(duì)我有利，值得一試.賭徒乙的想法與甲不謀而合.于是兩個(gè)人都愉快地接受了這位數(shù)學(xué)家的建議.看來這真是一種生財(cái)有道的賭博.
一位數(shù)學(xué)教授告訴學(xué)生，考試將在下周內(nèi)某一天進(jìn)行，具體在星期幾呢？只有到了考試那天才知道，這是預(yù)先料不到的.學(xué)生們都有較強(qiáng)的邏輯推理能力，他們想，按教授的說法，不會(huì)是星期五考試，因?yàn)槿绻搅诵瞧谒倪€沒有考試，那教授說的“只有到了考試那天才知道，這是預(yù)先料不到的”這句話就是錯(cuò)的.因此星期五考試可以排除.那就只可能在星期一到星期四考.既然這樣，星期四也不可能考，因?yàn)榈搅诵瞧谌€沒有考試的話，就只能是星期四了，這樣的話，也不會(huì)是預(yù)料不到的.因此星期四考也被排除了.可以用同樣的理由推出星期三、星期二、星期一都不可能考試.學(xué)生們推出結(jié)論后都很高興，教授的話已經(jīng)導(dǎo)出矛盾了，輕輕松松地過吧.結(jié)果到了下周的星期二，教授宣布考試，學(xué)生們都愣住了，怎么嚴(yán)格的推理失效了呢？教授確實(shí)兌現(xiàn)了自己說的話，誰也沒有能預(yù)料到考試的時(shí)間.現(xiàn)在請(qǐng)你想一想，學(xué)生們的推理究竟錯(cuò)在哪里呢？
一只螞蟻沿著一條長100米的橡皮繩以每秒1厘米的勻速由一端向另一端爬行.每過1秒鐘，橡皮繩就拉長 100米，比如 10秒后，橡皮繩就伸長為1000米了.當(dāng)然，這個(gè)問題是純數(shù)學(xué)化的，既假定橡皮繩可任意拉長，并且拉伸是均勻的.螞蟻也會(huì)不知疲倦地一直往前爬，在繩子均勻拉長時(shí)，螞蟻的位置理所當(dāng)然地相應(yīng)均勻向前挪動(dòng).現(xiàn)在要問，如此下去，螞蟻能否最終爬到橡皮繩的另一端？
5.悖論的例子
兩分法悖論“在你穿過一段距離之前，必先穿過這個(gè)距離的一半?！?/p>
意思是說向著一個(gè)目的地運(yùn)動(dòng)的物體，首先必須經(jīng)過路程的中點(diǎn)；然而要經(jīng)過這點(diǎn)，又必須先經(jīng)過路程的四分之一點(diǎn)；要過四分之一點(diǎn)又必須首先通過八分之一點(diǎn)等等，如此類推，以至無窮。由此得出的結(jié)論就是：運(yùn)動(dòng)是不可窮盡的過程，運(yùn)動(dòng)永遠(yuǎn)不可能有開始。
阿基里斯追龜 “阿基里斯追不上烏龜”是古希臘的一個(gè)哲學(xué)故事。阿基里斯是當(dāng)時(shí)的一個(gè)善于長跑的人。
阿基里斯當(dāng)然能夠追上烏龜，用方程可以來解決。假設(shè)阿基里斯的速度為a，烏龜?shù)乃俣葹閎，阿基里斯開始追趕烏龜?shù)臅r(shí)候，烏龜在阿基里斯的前面，假設(shè)這段距離為c，請(qǐng)問需要多少時(shí)間阿基里斯可以追上烏龜。
設(shè)所需要的時(shí)間為x，那么ax=bx+c, x=c/(a-b).由于a b c都是常數(shù)，x當(dāng)然可以求得一個(gè)解。當(dāng)然如果a b 的差如果很小，那么解可以趨于無窮大。
但是在這個(gè)哲學(xué)故事里面和這個(gè)問題卻毫無關(guān)系，在這個(gè)故事里面說阿基里斯追不上烏龜是說，不論阿基里斯比烏龜跑得有多快，他都追不上。 但是當(dāng)我們引入無限分割的問題時(shí)，馬上出現(xiàn)了變化。
如果我們故意這樣思考：阿基里斯在追趕烏龜?shù)倪^程中，或者追上烏龜之前，必須先走完烏龜當(dāng)前已經(jīng)超過他的距離。（這不是假設(shè)，而是確實(shí)應(yīng)該的事情。
但是這種思維方式卻是假定的，你可以用這樣的思維方式，也可以不用。一旦用了這樣的思維方式，就會(huì)使思維過程沒有完結(jié)，從而使得阿基里斯追不上烏龜。）
按照這種思維方式，當(dāng)阿基里斯走完烏龜超過他的距離后，烏龜在這段時(shí)間里也前進(jìn)了一段距離，雖然愈來愈小。每次這樣的思維，結(jié)果都是一樣的，在這個(gè)過程中，邏輯并沒有犯錯(cuò)。
我們可以把這樣的思考無限循環(huán)下去，而且烏龜繼續(xù)前進(jìn)的距離永遠(yuǎn)不會(huì)是零，雖然趨向無窮小，那么可以用形式邏輯的方法，推出這樣的結(jié)論：阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜。 以上的問題怎么解決呢？ 或許可以用微積分的方法。
阿基里斯追不上烏龜?shù)墓适轮?，?shí)際涉及到：對(duì)有限空間在有限時(shí)間內(nèi)以無限速度作無限分割。這個(gè)分割實(shí)際就是無窮小，我們完全可以規(guī)定這個(gè)無窮小等于0，因此只要出現(xiàn)無窮小的現(xiàn)象或情況，我們就可以認(rèn)為0要出現(xiàn)，事物的變化就有確定性。
或許我們和古人的區(qū)別在于，我們認(rèn)為無窮小是0，而古人認(rèn)為無窮小是永遠(yuǎn)不能等于0。古人他們太認(rèn)真了，他們會(huì)想，無窮小僅僅是無窮小，怎么會(huì)是0呢，相反它永遠(yuǎn)也不會(huì)是0。
實(shí)際上無窮小是一個(gè)完整的概念，一旦把它有限化，那么它就不是零了。要找到0與非0之間的界限，實(shí)際上還是用有限的方式，去思維無限的對(duì)象，或者把有限的事物予以無限化。
飛矢不動(dòng)“飛矢不動(dòng)”：飛著的箭在任何瞬間都是既非靜止又非運(yùn)動(dòng)的。如果瞬間是不可分的，箭就不可能運(yùn)動(dòng)，因?yàn)槿绻鼊?dòng)了，瞬間就立即是可以分的了。
但是時(shí)間是由瞬間組成的，如果箭在任何瞬間都是不動(dòng)的，則箭總是保持靜止。所以飛出的箭不能處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。
芝諾問他的學(xué)生：“一支射出的箭是動(dòng)的還是不動(dòng)的？” “那還用說，當(dāng)然是動(dòng)的?！?“確實(shí)是這樣，在每個(gè)人的眼里它都是動(dòng)的。
可是，這支箭在每一個(gè)瞬間里都有它的位置嗎？” “有的，老師?！?“在這一瞬間里，它占據(jù)的空間和它的體積一樣嗎？” “有確定的位置，又占據(jù)著和自身體積一樣大小的空間?！?/p>
“那么，在這一瞬間里，這支箭是動(dòng)的，還是不動(dòng)的？” “不動(dòng)的，老師” “這一瞬間是不動(dòng)的，那么其他瞬間呢？” “也是不動(dòng)的，老師” “所以，射出去的箭是不動(dòng)的？”游行隊(duì)伍悖論游行隊(duì)伍悖論是古希臘數(shù)學(xué)家芝諾（Zeno of Elea）提出的一系列關(guān)于運(yùn)動(dòng)的不可分性的哲學(xué)悖論中的一個(gè)，屬于芝諾悖論。這些悖論由于被記錄在亞里士多德的《物理學(xué)》一書中而為后人所知。
芝諾提出這些悖論是為了支持他老師巴門尼德關(guān)于“存在”不動(dòng)、是一的學(xué)說。這些悖論中最著名的兩個(gè)是：“阿喀琉斯跑不過烏龜”和“飛矢不動(dòng)”。
這些方法現(xiàn)在可以用微積分（無限）的概念解釋。 首先假設(shè)在操場上，在一瞬間（一個(gè)最小時(shí)間單位）里，相對(duì)于觀眾席A，列隊(duì)B、C將分別各向右和左移動(dòng)一個(gè)距離單位。
□□□□□□□□ 觀眾席A ■■■■■■■■隊(duì)列B……向右移動(dòng) ●●●●●●●● 隊(duì)列C……向左移動(dòng) 初始狀態(tài)： □□□□□□□□ ■■■■■■■■ ●●●●●●●● B、C兩個(gè)列隊(duì)開始移動(dòng)，如下圖所示相對(duì)于觀眾席A,B和C分別向右和左各移動(dòng)了一個(gè)距離單位。 □□□□□□□□ ■■■■■■■■ ●●●●●●●● 而此時(shí)，對(duì)B而言C移動(dòng)了兩個(gè)距離單位。
也就是，隊(duì)列既可以在一瞬間（一個(gè)最小時(shí)間單位）里移動(dòng)一個(gè)距離單位，也可以在半個(gè)最小時(shí)間單位里移動(dòng)一個(gè)距離單位，這就產(chǎn)生了半個(gè)時(shí)間單位等于一個(gè)時(shí)間單位的矛盾。因此隊(duì)列是移動(dòng)不了的。
錢包悖論謊言者悖論集合論悖論辛普森悖論蘇格拉底悖論書目悖論唐·吉訶德悖論。
6.誰能舉幾個(gè)有關(guān)悖論的例子
1.克里特人伊壁孟德 伊：所有的克里特人都是撒謊者。
M：他說的是真的嗎？如果他說的是實(shí)話，那么克里特人都是撒謊者，而伊壁孟德是克里特人， 他必然說了假話。他撒謊了嗎？如果他確實(shí)撒了謊，那么克里特人就都不是說謊的人，因而伊壁孟德也必然說了真話。
他怎么會(huì)既撒謊，同時(shí)又說真話呢？ 伊壁孟德是個(gè)半傳奇式的希臘人，他在公元前6世紀(jì)住在希臘。有一個(gè)神話說他曾經(jīng)一下子睡了57年。
關(guān)于他的上面那段文字，如果我們假定撒謊者總是說假話，不撒謊的人總是說真話，那么就會(huì)出現(xiàn)邏輯的矛盾。按此假定，“所有的克里特人都是撒謊者”這句話不可能是真話，因?yàn)檫@說明伊壁孟德既是撒謊的人，因此他說的就不是真話。
可是這又意味著克里特人是說真話的，那么伊壁孟德說的話也必定是真話，因此上面引的那句話也不可能是假話。 古希臘人曾為此大傷腦筋，怎么會(huì)一句話看上去完美無缺，自身沒有矛盾，卻既是真話又是假話呢！一個(gè)斯多噶派哲學(xué)家，克利西帕斯寫了六篇關(guān)于“說謊者悖論”的論文，沒有一篇成功。
有一位希臘詩人叫菲勒特斯，他的身體十分瘦弱，據(jù)說他的鞋中常帶著鉛以免他被大風(fēng)吹跑，他常常擔(dān)心自己會(huì)因思索這些悖論而過早地喪命。在《新約》中，圣·保羅在他給占塔斯的書信中也引述過這段悖論（1:12 – 13）。
2.說謊者悖論 M：我們陷入了著名的說謊者悖論之中。 下面是它的最簡單的形式。
甲：這句話是錯(cuò)的。 M：上面這個(gè)句子對(duì)嗎？如果是對(duì)的，這句話就是錯(cuò)的！如果這句話是錯(cuò)的，那這個(gè)句子就對(duì)了！像這樣矛盾的說法比你所能想到的還要普遍得多。
學(xué)生們是否能夠解釋，為什么這類悖論采用上述形式表達(dá)（即一句話談的正是它本身）就變得清晰起來？這是因?yàn)樗苏f謊者是否總是說謊，不說謊者總是說真話。 3。
無窮的倒退 M：機(jī)器受到的難題就像人碰到要解答一個(gè)古老的謎？。 問題：雞和雞蛋，到底先有哪個(gè)？ M：先有雞嗎？不，它必須從雞蛋里孵出來，那末先有雞蛋？不，它必須由雞生下。
好！你陷入了無窮的倒退之中。 雞和雞蛋這個(gè)古老的問題是邏輯學(xué)家稱為“無窮倒退”的最普通的例子。
老人牌麥片往往裝在一個(gè)盒中，上面的畫是一個(gè)老人舉著一盒麥片，這個(gè)盒上也有一張畫有一個(gè)老人舉著一盒麥片的小畫片。自然，那個(gè)小盒上又有同樣的畫片，如此以往就像一個(gè)套一個(gè)的中國盒子的無窮連環(huán)套一樣。
《科學(xué)美國人》1965年4月號(hào)有一個(gè)封面，畫著—個(gè)人眼中反映著這本雜志。 你可以看到在反映出的雜志上，也有一個(gè)小一點(diǎn)的眼睛，反映出一本更小的雜志，自然這樣一直小下去。
在理發(fā)店里，對(duì)面的墻上有很多相向的鏡子，人們在這些鏡子中可以看到反照出的無窮倒退。 4。
理發(fā)師悖論 M：著名的理發(fā)師悖論是伯特納德·羅素提出的。 一個(gè)理發(fā)師的招牌上寫著： 告示：城里所有不自己刮臉的男人都由我給他們刮臉，我也只給這些人刮臉。
M：誰給這位理發(fā)師刮臉呢？ M：如果他自己刮臉，那他就屬于自己刮臉的那類人。但是，他的招牌說明他不給這類人刮臉，因此他不能自己來刮。
M：如果另外一個(gè)人來給他刮臉，那他就是不自己刮臉的人。但是，他的招牌說他要給所有這類人刮臉。
因此其他任何人也不能給他刮臉?？磥?，沒有任何人能給這位理發(fā)師刮臉了！ 伯特納德·羅素提出這個(gè)悖論，為的是把他發(fā)現(xiàn)的關(guān)于集合的一個(gè)著名悖論用故事通俗地表述出來。
某些集合看起來是它自己的元素。例如，所有不是蘋果的東西的集合、它本身就不是蘋果，所以它必然是此集合自身的元素。
現(xiàn)在來考慮一個(gè)由一切不是它本身的元案的集合組成的集合。這個(gè)集合是它本身的元素嗎？無論你作何回答，你都自相矛盾[*]。
在邏輯學(xué)歷史上最富戲劇性的危機(jī)之一就與這條逆論有關(guān)。 德國的著名邏輯學(xué)家哥特洛伯·弗里茲寫完了他最重要的著作《算法基礎(chǔ)》第二卷，他認(rèn)為他在這本書中確立了一套嚴(yán)密的集合論，它可作為整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。
1902年，當(dāng)該書付印時(shí)，他收到了羅索的信，他得知上面那條悖論。弗里茲的集合論容許由一切不是它自身的元素的集合構(gòu)成的集合。
正如羅素在信中澄清的，這個(gè)表面上結(jié)構(gòu)完美的集合卻是自相矛盾的。弗里茲在收到羅素的信后，只來得及插入一個(gè)簡短的附言： “一個(gè)科學(xué)家所遇到的最不合心意的事，莫過于是在他的工作即將結(jié)束時(shí)使其基礎(chǔ)崩潰了，我把羅素的來信發(fā)表如下……” 據(jù)說，弗里茲使用的詞“不合心意”（undesirable）是數(shù)學(xué)史上最詞不達(dá)意的說法了 5。
2.四只貓的性別 M：很容易作出錯(cuò)誤的概率計(jì)算。這兒有兩只貓已住在一起。
V1：親愛的，我們的新房舍中有幾只貓？ V2：你不會(huì)數(shù)呀？四只，你這個(gè)笨蛋。 V1：幾只雄貓？ V2：很難說，我也不知道呢。
V1：四只貓都是雄的不太可能。 V2：也不可能四只都是雌貓。
V1：也許只有一只是雄貓。 V2：或許只有一只是雌貓。
V1：這也不是很難想出來的，親愛的。每只貓是雄是雌的機(jī)會(huì)是一半對(duì)一半，所以很明顯，最有可能的結(jié)果是兩個(gè)雄的，兩個(gè)雌的。
你還不能把它們算出來嗎？ M：貓先生的理由對(duì)不對(duì)？ 讓我們來檢驗(yàn)它的理論。用B表示雄貓，用G表示雌貓，這就很容易列出十六種同等可能的情。
7.給幾個(gè)悖論的例子
如果他在說謊，那么“我在說謊”就是一個(gè)謊，因此他說的是實(shí)話；但是如果這是實(shí)話，他又在說謊。
矛盾不可避免。如果事件A發(fā)生，則推導(dǎo)出非A，非A發(fā)生則推導(dǎo)出A，這是一個(gè)自相矛盾的無限邏輯循環(huán)。
在薩維爾村，理發(fā)師掛出一塊招牌：“我只給村里所有那些不給自己理發(fā)的人理發(fā)。”有人問他：“你給不給自己理發(fā)？”理發(fā)師頓時(shí)無言以對(duì)。
這是一個(gè)矛盾推理：如果理發(fā)師不給自己理發(fā)，他就屬于招牌上的那一類人。有言在先，他應(yīng)該給自己理發(fā)。
反之，如果這個(gè)理發(fā)師給他自己理發(fā)，根據(jù)招牌所言，他只給村中不給自己理發(fā)的人理發(fā)，他不能給自己理發(fā)。 “R是所有不包含自身的集合的集合?！?/p>
人們同樣會(huì)問：“R包含不包含R自身？”如果不包含，由R的定義，R應(yīng)屬于R。如果R包含自身的話，R又不屬于R。
一個(gè)圖書館編纂了一本書名詞典，它列出這個(gè)圖書館里所有不列出自己書名的書。那么它列不列出自己的書名？ “世界上沒有絕對(duì)的真理” 我們不知道這句話本身是不是“絕對(duì)的真理”。
在芝諾看來，由于飛箭在其飛行的每個(gè)瞬間都有一個(gè)瞬時(shí)的位置，它在這個(gè)位置上和不動(dòng)沒有什么區(qū)別。那么，無限個(gè)靜止位置的總和就等于運(yùn)動(dòng)了嗎？或者無限重復(fù)的靜止就是運(yùn)動(dòng)？中國古代也有類似的說法有學(xué)生問他的希臘老師：“什么是詭辯？”老師反問到：“有甲乙兩人，甲很干凈，乙很臟。
如果請(qǐng)他們洗澡，他們中間誰會(huì)洗？” 這里有四種可能，一是甲洗，因?yàn)樗袗鄹蓛舻牧?xí)慣；二是乙洗，因?yàn)樗枰?；三是兩人都洗，一個(gè)是因?yàn)榱?xí)慣，另一個(gè)是因?yàn)樾枰?；四是兩人都沒洗，因?yàn)榕K人沒有洗澡的習(xí)慣，干凈人不需要洗。這四種可能彼此相悖，無論學(xué)生作出怎樣的回答，老師都可以予以反駁，因?yàn)樗恍枰幸粋€(gè)客觀的標(biāo)準(zhǔn)，這就是詭辯。
這是一個(gè)可以自圓其說的乩語。它也有四種解釋：一是“父在，母先亡”；二是“父在母之先亡”；三是如果父母健在，可以解釋為將來；四是即使父母都去世了，也可以解釋為“父親在的時(shí)候，母親就去世了?！?/p>
或者是“父親在母親以前就去世了?！闭媸亲笥曳暝?。
這個(gè)命題與“白馬非馬”何其相似，盡管論證的方法和目的不同。荀子把墨辯“殺盜非殺人也”歸入“惑于用名以亂名”的詭辯。
荀子認(rèn)為，在外延方面“人”的范疇包含了“盜”的范疇。所以，說“盜”的時(shí)候，就意味著說他同時(shí)也是“人”；殺“盜”也是殺人。
8.求歷史上有名的"悖論"故事或命題.
故事1、有人要哲學(xué)家羅素證明從“2+2=5”推出“羅素是教皇”。
聰明的羅素做出了以下的證明： 1） 假定2+2=5; 2） 等式兩邊各減去2，得出2=3; 3） 易位得3=2 4） 兩邊各減去1，得出2=1; 5） 教皇與羅素是兩個(gè)人，但既然2=1，教皇與羅素就是一個(gè)人，所以羅素是教皇。 ——羅素是教皇的前提是2+2=5，這是一個(gè)假設(shè)，我們往往認(rèn)為假設(shè)是暫時(shí)可以成立的（猜想的含義基本等于假設(shè)），許多數(shù)學(xué)中的猜想最后都得到了驗(yàn)證。
但是猜想，也就是說假設(shè)在沒有驗(yàn)證之前它是不成立的，因此在2+2=5沒有得到證明之前，羅素不是教皇，即使2+2=5的假設(shè)被證明是成立的，羅素也不是教皇，因?yàn)榘凑铡罢J(rèn)字的人”先生文中“語言邏輯思維和事實(shí)是兩回事”的觀點(diǎn)，2+2=5和羅素=教皇是兩回事，這很容易理解，所以詭辯是建立在一個(gè)錯(cuò)誤的假設(shè)的基礎(chǔ)上的。 故事2、古希臘哲學(xué)家普羅太哥拉精通法律和詭辯術(shù)，他有個(gè)窮學(xué)生交不起學(xué)費(fèi)，普羅太哥拉就答應(yīng)他先免費(fèi)上學(xué)，等他畢業(yè)后打贏第一場官司再付錢。
結(jié)果這個(gè)學(xué)生畢業(yè)后一直不去打官司，也就總不給普羅太哥拉交錢，普羅太哥拉上法院告了這個(gè)學(xué)生?？墒牵@個(gè)學(xué)生深得真?zhèn)?，詭辯功力和老師不相上下。
學(xué)生在法庭上說：如果我輸?shù)暨@場官司，那么我就還沒打贏過官司，也就用不著向老師交錢；如果我贏了這場官司，也就是說，法庭駁回老師的要求，那么我還是不用交錢?？傊?，無論輸贏，我都不用交錢。
對(duì)此，老師反駁說：如果學(xué)生輸?shù)暨@場官司，既然輸了就說明我的要求是正當(dāng)?shù)模敲此捅仨毥诲X；如果他打贏了這場官司，他就贏過了第一場官司，那么他還是必須交錢。 總之，無論輸贏，他都必須交錢。
——在這場訴訟中似乎沒有任何一個(gè)法官能夠做出令訴訟雙方都信服的判決，但是只要解決了受教育的目的，以及教育是義務(wù)的行為，還是應(yīng)該得到報(bào)酬這樣一個(gè)契約關(guān)系，判決就不難做出，而支付報(bào)酬的相關(guān)條件必須符合大的契約關(guān)系，所以普羅太哥拉應(yīng)該勝訴。 故事3、飛箭從甲點(diǎn)飛到乙點(diǎn)，其間必然經(jīng)過無數(shù)個(gè)位置，有限的時(shí)間內(nèi)決不可能通過無窮多的位點(diǎn)。
補(bǔ)充：如果飛箭能夠通過，它就必須需要使用無窮的時(shí)間，而在無窮的時(shí)間我們無法證明它是否通過了 ——這個(gè)悖論很有意思，它存在前提是在暗示時(shí)間與空間是一個(gè)共同體，沒有任何的差別，但是我們知道時(shí)間和空間雖然是共存的，但卻不是一個(gè)“物體”的兩種形式，時(shí)間的單位不能等同于空間的單位，時(shí)間之所以存在，完全是因?yàn)椤叭魏蝺蓚€(gè)時(shí)間點(diǎn)之間都存在一個(gè)時(shí)間段，而這個(gè)時(shí)間段上速度的積分就是兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)之間飛箭運(yùn)動(dòng)的位移。 ”（摘自[匿名] 塞克斯）因此這個(gè)悖論是不成立的。
故事4、在任何一個(gè)特定時(shí)點(diǎn)（也就是位點(diǎn)），飛箭都是固定不動(dòng)的，無限個(gè)靜止的集合，不可能組成運(yùn)動(dòng)。 補(bǔ)充：所以飛箭一直是靜止的。
——這個(gè)悖論不成立的原因同上。 故事5、在薩維爾村，理發(fā)師掛出一塊招牌：“我只給村里所有那些不給自己理發(fā)的人理發(fā)。
”有人問他：“你給不給自己理發(fā)？”理發(fā)師頓時(shí)無言以對(duì)。 ——理發(fā)師的問題在于“不給自己理發(fā)”，不給自己理發(fā)同允許別人給自己理發(fā)是兩個(gè)概念。
如果我沒有理解錯(cuò)的話，“給自己理發(fā)”應(yīng)該意味著是自己動(dòng)手理自己的發(fā)，至少具有這樣的含義。所以理發(fā)師可以給所有的不是自己動(dòng)手理發(fā)的人理發(fā)，也可以允許別人給自己理發(fā)。
故事6、“所有克利特人都說謊 ，他們中間的一個(gè)詩人這么說?！?——這個(gè)悖論的第一個(gè)要點(diǎn)在于詩人也是克利特人之一，第二個(gè)要點(diǎn)是悖論的成立被限制在一個(gè)固定的時(shí)間和空間之內(nèi)，詩人說這句話時(shí)可能沒有撒謊，但是不能排除在其他的時(shí)間段里沒有撒謊。
還有一個(gè)很著名的悖論：有人問上帝，你能不能造一個(gè)連自己也舉不動(dòng)的石頭，如果能，那么就證明你是萬能的，但是你制造出這樣一個(gè)石頭自己卻舉不動(dòng)，你也不是萬能的。 ——這個(gè)悖論是建立在上帝是具體存在的這個(gè)假設(shè)的基礎(chǔ)之上的，而事實(shí)上，上帝是人們的一種信仰，他并不是一個(gè)真實(shí)、客觀的存在。
我們都知道，信仰可以促使人們?nèi)?duì)客觀環(huán)境產(chǎn)生作用，但是自己卻什么也做不了，它必須通過一個(gè)“代理人”才能實(shí)現(xiàn)其價(jià)值。讓上帝這個(gè)并不具體存在的“概念”來制造一件東西顯然是荒謬的。
關(guān)于時(shí)間悖論的故事 一九四五年的一天，克力富蘭的孤兒院里出現(xiàn)了一個(gè)神秘的女嬰，沒有人知道她的父母是誰。 她孤獨(dú)地長大，沒有任何人與她來往。
直到一九六三年的一天，她莫明其妙地愛上了一個(gè)流浪漢，情況才變得好起來?？墒呛镁安婚L，不幸事件一個(gè)接一個(gè)的發(fā)生。
首先，當(dāng)她發(fā)現(xiàn)自己懷上了流浪漢的小孩時(shí)，流浪漢卻突然失蹤了。其次，她在醫(yī)院生小孩時(shí)，醫(yī)生發(fā)現(xiàn)她是雙性人，也就是說她同時(shí)具有男女性器官。
為了挽救她的生命，醫(yī)院給她做了變性手術(shù)，她變成了他 。最不幸的是，她剛剛生下的小女孩又被一個(gè)神秘的人給綁走了。
這一連串的打擊使他從此一蹶不振，最后流落到街頭變成了一個(gè)無家可歸的流浪漢。 直到一九七零年的一天，他醉熏熏地走進(jìn)了一個(gè)名叫[url] 的小酒吧，把他一身不幸的遭遇告訴了一個(gè)比他年長的酒吧伙計(jì)。
酒吧伙計(jì)很同情他，主動(dòng)提出幫他找到那。
