悖論(悖論來(lái)源于哪里)
1.悖論來(lái)源于哪里
悖論[漢語(yǔ)拼音] bèilùn[英文]paradox[簡(jiǎn)要解釋] 邏輯學(xué)和數學(xué)中的“矛盾命題”[其他詳盡解釋]也可叫“逆論”，或“反論”，是指一種導致矛盾的命題。
悖論有點(diǎn)像魔術(shù)中的變戲法，它使人們在看完之后，幾乎沒(méi)有—個(gè)不驚訝得馬上就想知道：“這套戲法是怎么搞成的？”當把技巧告訴他時(shí)，他就會(huì )不知不覺(jué)地被引進(jìn)深奧而有趣的數學(xué)世界之中。正因為如此，悖論就成了一種十分有價(jià)值的教學(xué)手段。
悖論是屬于領(lǐng)域廣闊、定義嚴格的數學(xué)分支的一個(gè)組成部分，這一分支以“趣味數學(xué)”知名于世。這就是說(shuō)它帶有強烈的游戲色彩。
然而，切莫以為大數學(xué)家都看不起“趣味數學(xué)”問(wèn)題。歐拉就是通過(guò)對bridge-crossing之謎的分析打下了拓撲學(xué)的基礎。
萊布尼茨也寫(xiě)到過(guò)他在獨自玩插棍游戲（一種在小方格中插小木條的游戲）時(shí)分析問(wèn)題的樂(lè )趣。希爾伯特證明了切割幾何圖形中的許多重要定理。
馮·紐曼奠基了博弈論。最受大眾歡迎的計算機游戲—生命是英國著(zhù)名數學(xué)家康威發(fā)明的。
愛(ài)因斯坦也收藏了整整一書(shū)架關(guān)于數學(xué)游戲和數學(xué)謎的書(shū)。悖論（paradox）來(lái)自希臘語(yǔ)“para+dokein”，意思是“多想一想”。
這個(gè)詞的意義比較豐富，它包括一切與人的直覺(jué)和日常經(jīng)驗相矛盾的數學(xué)結論，那些結論會(huì )使我們驚異無(wú)比。 悖論是自相矛盾的命題。
即如果承認這個(gè)命題成立，就可推出它的否定命題成立；反之，如果承認這個(gè)命題的否定命題成立，又可推出這個(gè)命題成立 如果承認它是真的，經(jīng)過(guò)一系列正確的推理，卻又得出它是假的；如果承認它是假的，經(jīng)過(guò)一系列正確的推理，卻又得出它是真的。 古今中外有不少著(zhù)名的悖論，它們震撼了邏輯和數學(xué)的基礎，激發(fā)了人們求知和精密的思考，吸引了古往今來(lái)許多思想家和愛(ài)好者的注意力。
解決悖論難題需要創(chuàng )造性的思考，悖論的解決又往往可以給人帶來(lái)全新的觀(guān)念。 例如比較有名的理發(fā)師悖論：某鄉村有一位理發(fā)師，一天他宣布：只給不自己刮胡子的人刮胡子。
這里就產(chǎn)生了問(wèn)題：理發(fā)師給不給自己刮胡子？如果他給自己刮胡子，他就是自己刮胡子的人，按照他的原則，他不能給自己刮胡子；如果他不給自己刮胡子，他就是不自己刮胡子的人，按照他的原則，他就應該給自己刮胡子。這就產(chǎn)生了矛盾。
1900年前后，在數學(xué)的集合論中出現了三個(gè)著(zhù)名悖論，理發(fā)師悖論就是羅素悖論的一種通俗表達方式。此外還有康托爾悖論、布拉利—福爾蒂悖論。
這些悖論特別是羅素悖論，在當時(shí)的數學(xué)界與邏輯界內引起了極大震動(dòng)。觸發(fā)了數學(xué)的第三次危機。
悖論有三種主要形式。1.一種論斷看起來(lái)好像肯定錯了，但實(shí)際上卻是對的（佯謬）。
2.一種論斷看起來(lái)好像肯定是對的，但實(shí)際上卻錯了（似是而非的理論）。3.一系列推理看起來(lái)好像無(wú)懈可擊，可是卻導致邏輯上自相矛盾。
悖論有以下幾類(lèi)：邏輯悖論、概率悖論、幾何悖論、統計悖論和時(shí)間悖論等。歷史上著(zhù)名的悖論 NO.1 說(shuō)謊者悖論（1iar paradox or Epimenides' paradox） 最古老的語(yǔ)義悖論。
公元前6世紀古希臘哲學(xué)家伊壁孟德 所創(chuàng )的四個(gè)悖論之一。是關(guān)于“我正在撒謊”的悖論。
具體為：如果他的確正在撒謊，那么這句話(huà)是真的，所以伊壁孟德不在撤謊，如果他不在撒謊，那么這句話(huà)是假的，因而伊壁孟德正在撒謊。 NO.2 伊勒克特拉悖論（Eletra paradox） 邏輯史上最早的內涵悖論。
由古希臘斯多亞學(xué)派提出。它的基本內容是：伊勒克特拉有位哥哥奧列斯特回家了.盡管伊勒支持拉知道奧列斯特是她的哥哥.但她并不認識站在她面前的這個(gè)男人。
寫(xiě)成一個(gè)推理.即： 伊勒克持拉不知道站在她面前的這個(gè)人是她的哥哥。 伊勒克持拉知道奧列期特是她的哥哥。
站在她面前的人是奧列期特。 所以，伊勒克持拉既知道并且又不知道這個(gè)人是她的 哥哥。
NO.3 M：著(zhù)名的理發(fā)師悖論是伯特納德·羅素提出的。一個(gè)理發(fā)師的招牌上寫(xiě)著(zhù)： 告示：城里所有不自己刮臉的男人都由我給他們刮臉，我也只給這些人刮臉。
M：誰(shuí)給這位理發(fā)師刮臉呢？ M：如果他自己刮臉，那他就屬于自己刮臉的那類(lèi)人。但是，他的招牌說(shuō)明他不給這類(lèi)人刮臉，因此他不能自己來(lái)刮。
M：如果另外一個(gè)人來(lái)給他刮臉，那他就是不自己刮臉的人。但是，他的招牌說(shuō)他要給所有這類(lèi)人刮臉。
因此其他任何人也不能給他刮臉。看來(lái)，沒(méi)有任何人能給這位理發(fā)師刮臉了！ NO.4 唐·吉訶德悖論 M：小說(shuō)《唐·吉訶德》里描寫(xiě)過(guò)一個(gè)國家.它有一條奇怪的法律：每一個(gè)旅游者都要回答一個(gè)問(wèn)題。
問(wèn)，你來(lái)這里做什么？ M：如果旅游者回答對了。一切都好辦。
如果回答錯了，他就要被絞死。 M：一天，有個(gè)旅游者回答—— 旅游者：我來(lái)這里是要被絞死。
M：這時(shí)，衛兵也和鱷魚(yú)一樣慌了神，如果他們不把這人絞死，他就說(shuō)錯了，就得受絞刑。可是，如果他們絞死他，他就說(shuō)對了，就不應該絞死他。
2.悖論的例子
兩分法悖論 “在你穿過(guò)一段距離之前，必先穿過(guò)這個(gè)距離的一半。”
意思是說(shuō)向著(zhù)一個(gè)目的地運動(dòng)的物體，首先必須經(jīng)過(guò)路程的中點(diǎn)；然而要經(jīng)過(guò)這點(diǎn)，又必須先經(jīng)過(guò)路程的四分之一點(diǎn)；要過(guò)四分之一點(diǎn)又必須首先通過(guò)八分之一點(diǎn)等等，如此類(lèi)推，以至無(wú)窮。由此得出的結論就是：運動(dòng)是不可窮盡的過(guò)程，運動(dòng)永遠不可能有開(kāi)始。
阿基里斯追龜 “阿基里斯追不上烏龜”是古希臘的一個(gè)哲學(xué)故事。阿基里斯是當時(shí)的一個(gè)善于長(cháng)跑的人。
阿基里斯當然能夠追上烏龜，用方程可以來(lái)解決。假設阿基里斯的速度為a，烏龜的速度為b，阿基里斯開(kāi)始追趕烏龜的時(shí)候，烏龜在阿基里斯的前面，假設這段距離為c，請問(wèn)需要多少時(shí)間阿基里斯可以追上烏龜。
設所需要的時(shí)間為x，那么ax=bx+c, x=c/(a-b).由于a b c都是常數，x當然可以求得一個(gè)解。當然如果a b 的差如果很小，那么解可以趨于無(wú)窮大。
但是在這個(gè)哲學(xué)故事里面和這個(gè)問(wèn)題卻毫無(wú)關(guān)系，在這個(gè)故事里面說(shuō)阿基里斯追不上烏龜是說(shuō)，不論阿基里斯比烏龜跑得有多快，他都追不上。 但是當我們引入無(wú)限分割的問(wèn)題時(shí)，馬上出現了變化。
如果我們故意這樣思考：阿基里斯在追趕烏龜的過(guò)程中，或者追上烏龜之前，必須先走完烏龜當前已經(jīng)超過(guò)他的距離。（這不是假設，而是確實(shí)應該的事情。
但是這種思維方式卻是假定的，你可以用這樣的思維方式，也可以不用。一旦用了這樣的思維方式，就會(huì )使思維過(guò)程沒(méi)有完結，從而使得阿基里斯追不上烏龜。）
按照這種思維方式，當阿基里斯走完烏龜超過(guò)他的距離后，烏龜在這段時(shí)間里也前進(jìn)了一段距離，雖然愈來(lái)愈小。每次這樣的思維，結果都是一樣的，在這個(gè)過(guò)程中，邏輯并沒(méi)有犯錯。
我們可以把這樣的思考無(wú)限循環(huán)下去，而且烏龜繼續前進(jìn)的距離永遠不會(huì )是零，雖然趨向無(wú)窮小，那么可以用形式邏輯的方法，推出這樣的結論：阿基里斯永遠追不上烏龜。 以上的問(wèn)題怎么解決呢？ 或許可以用微積分的方法。
阿基里斯追不上烏龜的故事中，實(shí)際涉及到：對有限空間在有限時(shí)間內以無(wú)限速度作無(wú)限分割。這個(gè)分割實(shí)際就是無(wú)窮小，我們完全可以規定這個(gè)無(wú)窮小等于0，因此只要出現無(wú)窮小的現象或情況，我們就可以認為0要出現，事物的變化就有確定性。
或許我們和古人的區別在于，我們認為無(wú)窮小是0，而古人認為無(wú)窮小是永遠不能等于0。古人他們太認真了，他們會(huì )想，無(wú)窮小僅僅是無(wú)窮小，怎么會(huì )是0呢，相反它永遠也不會(huì )是0。
實(shí)際上無(wú)窮小是一個(gè)完整的概念，一旦把它有限化，那么它就不是零了。要找到0與非0之間的界限，實(shí)際上還是用有限的方式，去思維無(wú)限的對象，或者把有限的事物予以無(wú)限化。
飛矢不動(dòng) “飛矢不動(dòng)”：飛著(zhù)的箭在任何瞬間都是既非靜止又非運動(dòng)的。如果瞬間是不可分的，箭就不可能運動(dòng)，因為如果它動(dòng)了，瞬間就立即是可以分的了。
但是時(shí)間是由瞬間組成的，如果箭在任何瞬間都是不動(dòng)的，則箭總是保持靜止。所以飛出的箭不能處于運動(dòng)狀態(tài)。
芝諾問(wèn)他的學(xué)生：“一支射出的箭是動(dòng)的還是不動(dòng)的？” “那還用說(shuō)，當然是動(dòng)的。” “確實(shí)是這樣，在每個(gè)人的眼里它都是動(dòng)的。
可是，這支箭在每一個(gè)瞬間里都有它的位置嗎？” “有的，老師。” “在這一瞬間里，它占據的空間和它的體積一樣嗎？” “有確定的位置，又占據著(zhù)和自身體積一樣大小的空間。”
“那么，在這一瞬間里，這支箭是動(dòng)的，還是不動(dòng)的？” “不動(dòng)的，老師” “這一瞬間是不動(dòng)的，那么其他瞬間呢？” “也是不動(dòng)的，老師” “所以，射出去的箭是不動(dòng)的？” 游行隊伍悖論 游行隊伍悖論是古希臘數學(xué)家芝諾（Zeno of Elea）提出的一系列關(guān)于運動(dòng)的不可分性的哲學(xué)悖論中的一個(gè)，屬于芝諾悖論。這些悖論由于被記錄在亞里士多德的《物理學(xué)》一書(shū)中而為后人所知。
芝諾提出這些悖論是為了支持他老師巴門(mén)尼德關(guān)于“存在”不動(dòng)、是一的學(xué)說(shuō)。這些悖論中最著(zhù)名的兩個(gè)是：“阿喀琉斯跑不過(guò)烏龜”和“飛矢不動(dòng)”。
這些方法現在可以用微積分（無(wú)限）的概念解釋。 首先假設在操場(chǎng)上，在一瞬間（一個(gè)最小時(shí)間單位）里，相對于觀(guān)眾席A，列隊B、C將分別各向右和左移動(dòng)一個(gè)距離單位。
□□□□□□□□ 觀(guān)眾席A ■■■■■■■■隊列B……向右移動(dòng) ●●●●●●●● 隊列C……向左移動(dòng) 初始狀態(tài)： □□□□□□□□ ■■■■■■■■ ●●●●●●●● B、C兩個(gè)列隊開(kāi)始移動(dòng)，如下圖所示相對于觀(guān)眾席A,B和C分別向右和左各移動(dòng)了一個(gè)距離單位。 □□□□□□□□ ■■■■■■■■ ●●●●●●●● 而此時(shí)，對B而言C移動(dòng)了兩個(gè)距離單位。
也就是，隊列既可以在一瞬間（一個(gè)最小時(shí)間單位）里移動(dòng)一個(gè)距離單位，也可以在半個(gè)最小時(shí)間單位里移動(dòng)一個(gè)距離單位，這就產(chǎn)生了半個(gè)時(shí)間單位等于一個(gè)時(shí)間單位的矛盾。因此隊列是移動(dòng)不了的。
錢(qián)包悖論 謊言者悖論 集合論悖論 辛普森悖論 蘇格拉底悖論 書(shū)目悖論 唐·吉訶德悖論。
3.誰(shuí)有有關(guān)悖論的故事
【悖論引發(fā)的第三次數學(xué)危機】
1900年，國際數學(xué)家大會(huì )上，法國著(zhù)名數學(xué)家龐加萊就曾興高采烈地宣稱(chēng)：“………借助集合論概念，我們可以建造整個(gè)數學(xué)大廈……今天，我們可以說(shuō)絕對的嚴格性已經(jīng)達到了……” 可是，好景不長(cháng)。 羅素構造了一個(gè)集合S:S由一切不是自身元素的集合所組成。然后羅素問(wèn)：S是否屬于S呢？根據排中律，一個(gè)元素或者屬于某個(gè)集合，或者不屬于某個(gè)集合。因此，對于一個(gè)給定的集合，問(wèn)是否屬于它自己是有意義的。但對這個(gè)看似合理的問(wèn)題的回答卻會(huì )陷入兩難境地。如果S屬于S，根據S的定義，S就不屬于S；反之，如果S不屬于S，同樣根據定義，S就屬于S。無(wú)論如何都是矛盾的。
4.悖論的例子
我在說(shuō)謊
你說(shuō)呢
自相矛盾就是一個(gè)
城里所有不自己刮臉的男人都由我給他們刮臉，我也只給這些人刮臉
那么誰(shuí)給這位理發(fā)師刮臉呢？
殺手的悖論
我是個(gè)殺手，這個(gè)秘密只能讓我的雇主知道，否則官府會(huì )將我抓起來(lái)法辦。在開(kāi)始
我的殺手生涯之前，我意識到這是個(gè)地下工作，保密要求高，我不能當街叫賣(mài)、不能自
插草簽；但我又得讓我的潛在雇主知道我的存在，不然我接不到生意。
還有：
一位調查員受托去A、B、C三所中學(xué)調查學(xué)生訂閱《中學(xué)生數學(xué)》的情況，他很快統計出，A校男生訂閱的比例比女生訂閱的比例要大些，對B校和C校的調查也得出同樣的結果.于是他擬寫(xiě)了一個(gè)簡(jiǎn)要報道，稱(chēng)由抽取的三所學(xué)校的調查數據看，中學(xué)生中男生訂閱《中學(xué)生數學(xué)》的比例比女生大.后來(lái)，他又把三所學(xué)校的學(xué)生合起來(lái)作了一遍統計復核，匪夷所思的事情發(fā)生了，這時(shí)他得出的統計結果令他大吃一驚，原來(lái)訂閱《中學(xué)生數學(xué)》的所有學(xué)生中，女生的比例比男生要大些，怎么會(huì )是這樣呢？這就象在玩一個(gè)魔術(shù)，少的變多了，多的變少了.你能幫他找找原因嗎？
一位美國數學(xué)家來(lái)到一個(gè)賭場(chǎng)，隨便叫住兩個(gè)賭客，要教給他們一種既簡(jiǎn)單又掙錢(qián)的賭法.方法是，兩個(gè)人把身上的錢(qián)都掏出來(lái)，數一數，誰(shuí)的錢(qián)少就可以贏(yíng)得錢(qián)多的人的全部錢(qián).賭徒甲想，如果我身上的錢(qián)比對方多，我就會(huì )輸掉這些錢(qián)，但是，如果對方的錢(qián)比我多，我就會(huì )贏(yíng)得多于我帶的錢(qián)數的錢(qián)，所以我贏(yíng)的肯定要比輸的多.而我倆帶的錢(qián)誰(shuí)多誰(shuí)少是隨機的，可能性是一半對一半，因此這種賭法對我有利，值得一試.賭徒乙的想法與甲不謀而合.于是兩個(gè)人都愉快地接受了這位數學(xué)家的建議.看來(lái)這真是一種生財有道的賭博.
一位數學(xué)教授告訴學(xué)生，考試將在下周內某一天進(jìn)行，具體在星期幾呢？只有到了考試那天才知道，這是預先料不到的.學(xué)生們都有較強的邏輯推理能力，他們想，按教授的說(shuō)法，不會(huì )是星期五考試，因為如果到了星期四還沒(méi)有考試，那教授說(shuō)的“只有到了考試那天才知道，這是預先料不到的”這句話(huà)就是錯的.因此星期五考試可以排除.那就只可能在星期一到星期四考.既然這樣，星期四也不可能考，因為到了星期三還沒(méi)有考試的話(huà)，就只能是星期四了，這樣的話(huà)，也不會(huì )是預料不到的.因此星期四考也被排除了.可以用同樣的理由推出星期三、星期二、星期一都不可能考試.學(xué)生們推出結論后都很高興，教授的話(huà)已經(jīng)導出矛盾了，輕輕松松地過(guò)吧.結果到了下周的星期二，教授宣布考試，學(xué)生們都愣住了，怎么嚴格的推理失效了呢？教授確實(shí)兌現了自己說(shuō)的話(huà)，誰(shuí)也沒(méi)有能預料到考試的時(shí)間.現在請你想一想，學(xué)生們的推理究竟錯在哪里呢？
一只螞蟻沿著(zhù)一條長(cháng)100米的橡皮繩以每秒1厘米的勻速由一端向另一端爬行.每過(guò)1秒鐘，橡皮繩就拉長(cháng) 100米，比如 10秒后，橡皮繩就伸長(cháng)為1000米了.當然，這個(gè)問(wèn)題是純數學(xué)化的，既假定橡皮繩可任意拉長(cháng)，并且拉伸是均勻的.螞蟻也會(huì )不知疲倦地一直往前爬，在繩子均勻拉長(cháng)時(shí)，螞蟻的位置理所當然地相應均勻向前挪動(dòng).現在要問(wèn)，如此下去，螞蟻能否最終爬到橡皮繩的另一端？
5.悖論的例子
兩分法悖論“在你穿過(guò)一段距離之前，必先穿過(guò)這個(gè)距離的一半。”
意思是說(shuō)向著(zhù)一個(gè)目的地運動(dòng)的物體，首先必須經(jīng)過(guò)路程的中點(diǎn)；然而要經(jīng)過(guò)這點(diǎn)，又必須先經(jīng)過(guò)路程的四分之一點(diǎn)；要過(guò)四分之一點(diǎn)又必須首先通過(guò)八分之一點(diǎn)等等，如此類(lèi)推，以至無(wú)窮。由此得出的結論就是：運動(dòng)是不可窮盡的過(guò)程，運動(dòng)永遠不可能有開(kāi)始。
阿基里斯追龜 “阿基里斯追不上烏龜”是古希臘的一個(gè)哲學(xué)故事。阿基里斯是當時(shí)的一個(gè)善于長(cháng)跑的人。
阿基里斯當然能夠追上烏龜，用方程可以來(lái)解決。假設阿基里斯的速度為a，烏龜的速度為b，阿基里斯開(kāi)始追趕烏龜的時(shí)候，烏龜在阿基里斯的前面，假設這段距離為c，請問(wèn)需要多少時(shí)間阿基里斯可以追上烏龜。
設所需要的時(shí)間為x，那么ax=bx+c, x=c/(a-b).由于a b c都是常數，x當然可以求得一個(gè)解。當然如果a b 的差如果很小，那么解可以趨于無(wú)窮大。
但是在這個(gè)哲學(xué)故事里面和這個(gè)問(wèn)題卻毫無(wú)關(guān)系，在這個(gè)故事里面說(shuō)阿基里斯追不上烏龜是說(shuō)，不論阿基里斯比烏龜跑得有多快，他都追不上。 但是當我們引入無(wú)限分割的問(wèn)題時(shí)，馬上出現了變化。
如果我們故意這樣思考：阿基里斯在追趕烏龜的過(guò)程中，或者追上烏龜之前，必須先走完烏龜當前已經(jīng)超過(guò)他的距離。（這不是假設，而是確實(shí)應該的事情。
但是這種思維方式卻是假定的，你可以用這樣的思維方式，也可以不用。一旦用了這樣的思維方式，就會(huì )使思維過(guò)程沒(méi)有完結，從而使得阿基里斯追不上烏龜。）
按照這種思維方式，當阿基里斯走完烏龜超過(guò)他的距離后，烏龜在這段時(shí)間里也前進(jìn)了一段距離，雖然愈來(lái)愈小。每次這樣的思維，結果都是一樣的，在這個(gè)過(guò)程中，邏輯并沒(méi)有犯錯。
我們可以把這樣的思考無(wú)限循環(huán)下去，而且烏龜繼續前進(jìn)的距離永遠不會(huì )是零，雖然趨向無(wú)窮小，那么可以用形式邏輯的方法，推出這樣的結論：阿基里斯永遠追不上烏龜。 以上的問(wèn)題怎么解決呢？ 或許可以用微積分的方法。
阿基里斯追不上烏龜的故事中，實(shí)際涉及到：對有限空間在有限時(shí)間內以無(wú)限速度作無(wú)限分割。這個(gè)分割實(shí)際就是無(wú)窮小，我們完全可以規定這個(gè)無(wú)窮小等于0，因此只要出現無(wú)窮小的現象或情況，我們就可以認為0要出現，事物的變化就有確定性。
或許我們和古人的區別在于，我們認為無(wú)窮小是0，而古人認為無(wú)窮小是永遠不能等于0。古人他們太認真了，他們會(huì )想，無(wú)窮小僅僅是無(wú)窮小，怎么會(huì )是0呢，相反它永遠也不會(huì )是0。
實(shí)際上無(wú)窮小是一個(gè)完整的概念，一旦把它有限化，那么它就不是零了。要找到0與非0之間的界限，實(shí)際上還是用有限的方式，去思維無(wú)限的對象，或者把有限的事物予以無(wú)限化。
飛矢不動(dòng)“飛矢不動(dòng)”：飛著(zhù)的箭在任何瞬間都是既非靜止又非運動(dòng)的。如果瞬間是不可分的，箭就不可能運動(dòng)，因為如果它動(dòng)了，瞬間就立即是可以分的了。
但是時(shí)間是由瞬間組成的，如果箭在任何瞬間都是不動(dòng)的，則箭總是保持靜止。所以飛出的箭不能處于運動(dòng)狀態(tài)。
芝諾問(wèn)他的學(xué)生：“一支射出的箭是動(dòng)的還是不動(dòng)的？” “那還用說(shuō)，當然是動(dòng)的。” “確實(shí)是這樣，在每個(gè)人的眼里它都是動(dòng)的。
可是，這支箭在每一個(gè)瞬間里都有它的位置嗎？” “有的，老師。” “在這一瞬間里，它占據的空間和它的體積一樣嗎？” “有確定的位置，又占據著(zhù)和自身體積一樣大小的空間。”
“那么，在這一瞬間里，這支箭是動(dòng)的，還是不動(dòng)的？” “不動(dòng)的，老師” “這一瞬間是不動(dòng)的，那么其他瞬間呢？” “也是不動(dòng)的，老師” “所以，射出去的箭是不動(dòng)的？”游行隊伍悖論游行隊伍悖論是古希臘數學(xué)家芝諾（Zeno of Elea）提出的一系列關(guān)于運動(dòng)的不可分性的哲學(xué)悖論中的一個(gè)，屬于芝諾悖論。這些悖論由于被記錄在亞里士多德的《物理學(xué)》一書(shū)中而為后人所知。
芝諾提出這些悖論是為了支持他老師巴門(mén)尼德關(guān)于“存在”不動(dòng)、是一的學(xué)說(shuō)。這些悖論中最著(zhù)名的兩個(gè)是：“阿喀琉斯跑不過(guò)烏龜”和“飛矢不動(dòng)”。
這些方法現在可以用微積分（無(wú)限）的概念解釋。 首先假設在操場(chǎng)上，在一瞬間（一個(gè)最小時(shí)間單位）里，相對于觀(guān)眾席A，列隊B、C將分別各向右和左移動(dòng)一個(gè)距離單位。
□□□□□□□□ 觀(guān)眾席A ■■■■■■■■隊列B……向右移動(dòng) ●●●●●●●● 隊列C……向左移動(dòng) 初始狀態(tài)： □□□□□□□□ ■■■■■■■■ ●●●●●●●● B、C兩個(gè)列隊開(kāi)始移動(dòng)，如下圖所示相對于觀(guān)眾席A,B和C分別向右和左各移動(dòng)了一個(gè)距離單位。 □□□□□□□□ ■■■■■■■■ ●●●●●●●● 而此時(shí)，對B而言C移動(dòng)了兩個(gè)距離單位。
也就是，隊列既可以在一瞬間（一個(gè)最小時(shí)間單位）里移動(dòng)一個(gè)距離單位，也可以在半個(gè)最小時(shí)間單位里移動(dòng)一個(gè)距離單位，這就產(chǎn)生了半個(gè)時(shí)間單位等于一個(gè)時(shí)間單位的矛盾。因此隊列是移動(dòng)不了的。
錢(qián)包悖論謊言者悖論集合論悖論辛普森悖論蘇格拉底悖論書(shū)目悖論唐·吉訶德悖論。
6.誰(shuí)能舉幾個(gè)有關(guān)悖論的例子
1.克里特人伊壁孟德 伊：所有的克里特人都是撒謊者。
M：他說(shuō)的是真的嗎？如果他說(shuō)的是實(shí)話(huà)，那么克里特人都是撒謊者，而伊壁孟德是克里特人， 他必然說(shuō)了假話(huà)。他撒謊了嗎？如果他確實(shí)撒了謊，那么克里特人就都不是說(shuō)謊的人，因而伊壁孟德也必然說(shuō)了真話(huà)。
他怎么會(huì )既撒謊，同時(shí)又說(shuō)真話(huà)呢？ 伊壁孟德是個(gè)半傳奇式的希臘人，他在公元前6世紀住在希臘。有一個(gè)神話(huà)說(shuō)他曾經(jīng)一下子睡了57年。
關(guān)于他的上面那段文字，如果我們假定撒謊者總是說(shuō)假話(huà)，不撒謊的人總是說(shuō)真話(huà)，那么就會(huì )出現邏輯的矛盾。按此假定，“所有的克里特人都是撒謊者”這句話(huà)不可能是真話(huà)，因為這說(shuō)明伊壁孟德既是撒謊的人，因此他說(shuō)的就不是真話(huà)。
可是這又意味著(zhù)克里特人是說(shuō)真話(huà)的，那么伊壁孟德說(shuō)的話(huà)也必定是真話(huà)，因此上面引的那句話(huà)也不可能是假話(huà)。 古希臘人曾為此大傷腦筋，怎么會(huì )一句話(huà)看上去完美無(wú)缺，自身沒(méi)有矛盾，卻既是真話(huà)又是假話(huà)呢！一個(gè)斯多噶派哲學(xué)家，克利西帕斯寫(xiě)了六篇關(guān)于“說(shuō)謊者悖論”的論文，沒(méi)有一篇成功。
有一位希臘詩(shī)人叫菲勒特斯，他的身體十分瘦弱，據說(shuō)他的鞋中常帶著(zhù)鉛以免他被大風(fēng)吹跑，他常常擔心自己會(huì )因思索這些悖論而過(guò)早地喪命。在《新約》中，圣·保羅在他給占塔斯的書(shū)信中也引述過(guò)這段悖論（1:12 – 13）。
2.說(shuō)謊者悖論 M：我們陷入了著(zhù)名的說(shuō)謊者悖論之中。 下面是它的最簡(jiǎn)單的形式。
甲：這句話(huà)是錯的。 M：上面這個(gè)句子對嗎？如果是對的，這句話(huà)就是錯的！如果這句話(huà)是錯的，那這個(gè)句子就對了！像這樣矛盾的說(shuō)法比你所能想到的還要普遍得多。
學(xué)生們是否能夠解釋?zhuān)瑸槭裁催@類(lèi)悖論采用上述形式表達（即一句話(huà)談的正是它本身）就變得清晰起來(lái)？這是因為它消除了說(shuō)謊者是否總是說(shuō)謊，不說(shuō)謊者總是說(shuō)真話(huà)。 3。
無(wú)窮的倒退 M：機器受到的難題就像人碰到要解答一個(gè)古老的謎？。 問(wèn)題：雞和雞蛋，到底先有哪個(gè)？ M：先有雞嗎？不，它必須從雞蛋里孵出來(lái)，那末先有雞蛋？不，它必須由雞生下。
好！你陷入了無(wú)窮的倒退之中。 雞和雞蛋這個(gè)古老的問(wèn)題是邏輯學(xué)家稱(chēng)為“無(wú)窮倒退”的最普通的例子。
老人牌麥片往往裝在一個(gè)盒中，上面的畫(huà)是一個(gè)老人舉著(zhù)一盒麥片，這個(gè)盒上也有一張畫(huà)有一個(gè)老人舉著(zhù)一盒麥片的小畫(huà)片。自然，那個(gè)小盒上又有同樣的畫(huà)片，如此以往就像一個(gè)套一個(gè)的中國盒子的無(wú)窮連環(huán)套一樣。
《科學(xué)美國人》1965年4月號有一個(gè)封面，畫(huà)著(zhù)—個(gè)人眼中反映著(zhù)這本雜志。 你可以看到在反映出的雜志上，也有一個(gè)小一點(diǎn)的眼睛，反映出一本更小的雜志，自然這樣一直小下去。
在理發(fā)店里，對面的墻上有很多相向的鏡子，人們在這些鏡子中可以看到反照出的無(wú)窮倒退。 4。
理發(fā)師悖論 M：著(zhù)名的理發(fā)師悖論是伯特納德·羅素提出的。 一個(gè)理發(fā)師的招牌上寫(xiě)著(zhù)： 告示：城里所有不自己刮臉的男人都由我給他們刮臉，我也只給這些人刮臉。
M：誰(shuí)給這位理發(fā)師刮臉呢？ M：如果他自己刮臉，那他就屬于自己刮臉的那類(lèi)人。但是，他的招牌說(shuō)明他不給這類(lèi)人刮臉，因此他不能自己來(lái)刮。
M：如果另外一個(gè)人來(lái)給他刮臉，那他就是不自己刮臉的人。但是，他的招牌說(shuō)他要給所有這類(lèi)人刮臉。
因此其他任何人也不能給他刮臉。看來(lái)，沒(méi)有任何人能給這位理發(fā)師刮臉了！ 伯特納德·羅素提出這個(gè)悖論，為的是把他發(fā)現的關(guān)于集合的一個(gè)著(zhù)名悖論用故事通俗地表述出來(lái)。
某些集合看起來(lái)是它自己的元素。例如，所有不是蘋(píng)果的東西的集合、它本身就不是蘋(píng)果，所以它必然是此集合自身的元素。
現在來(lái)考慮一個(gè)由一切不是它本身的元案的集合組成的集合。這個(gè)集合是它本身的元素嗎？無(wú)論你作何回答，你都自相矛盾[*]。
在邏輯學(xué)歷史上最富戲劇性的危機之一就與這條逆論有關(guān)。 德國的著(zhù)名邏輯學(xué)家哥特洛伯·弗里茲寫(xiě)完了他最重要的著(zhù)作《算法基礎》第二卷，他認為他在這本書(shū)中確立了一套嚴密的集合論，它可作為整個(gè)數學(xué)的基礎。
1902年，當該書(shū)付印時(shí)，他收到了羅索的信，他得知上面那條悖論。弗里茲的集合論容許由一切不是它自身的元素的集合構成的集合。
正如羅素在信中澄清的，這個(gè)表面上結構完美的集合卻是自相矛盾的。弗里茲在收到羅素的信后，只來(lái)得及插入一個(gè)簡(jiǎn)短的附言： “一個(gè)科學(xué)家所遇到的最不合心意的事，莫過(guò)于是在他的工作即將結束時(shí)使其基礎崩潰了，我把羅素的來(lái)信發(fā)表如下……” 據說(shuō)，弗里茲使用的詞“不合心意”（undesirable）是數學(xué)史上最詞不達意的說(shuō)法了 5。
2.四只貓的性別 M：很容易作出錯誤的概率計算。這兒有兩只貓已住在一起。
V1：親愛(ài)的，我們的新房舍中有幾只貓？ V2：你不會(huì )數呀？四只，你這個(gè)笨蛋。 V1：幾只雄貓？ V2：很難說(shuō)，我也不知道呢。
V1：四只貓都是雄的不太可能。 V2：也不可能四只都是雌貓。
V1：也許只有一只是雄貓。 V2：或許只有一只是雌貓。
V1：這也不是很難想出來(lái)的，親愛(ài)的。每只貓是雄是雌的機會(huì )是一半對一半，所以很明顯，最有可能的結果是兩個(gè)雄的，兩個(gè)雌的。
你還不能把它們算出來(lái)嗎？ M：貓先生的理由對不對？ 讓我們來(lái)檢驗它的理論。用B表示雄貓，用G表示雌貓，這就很容易列出十六種同等可能的情。
7.給幾個(gè)悖論的例子
如果他在說(shuō)謊，那么“我在說(shuō)謊”就是一個(gè)謊，因此他說(shuō)的是實(shí)話(huà)；但是如果這是實(shí)話(huà)，他又在說(shuō)謊。
矛盾不可避免。如果事件A發(fā)生，則推導出非A，非A發(fā)生則推導出A，這是一個(gè)自相矛盾的無(wú)限邏輯循環(huán)。
在薩維爾村，理發(fā)師掛出一塊招牌：“我只給村里所有那些不給自己理發(fā)的人理發(fā)。”有人問(wèn)他：“你給不給自己理發(fā)？”理發(fā)師頓時(shí)無(wú)言以對。
這是一個(gè)矛盾推理：如果理發(fā)師不給自己理發(fā)，他就屬于招牌上的那一類(lèi)人。有言在先，他應該給自己理發(fā)。
反之，如果這個(gè)理發(fā)師給他自己理發(fā)，根據招牌所言，他只給村中不給自己理發(fā)的人理發(fā)，他不能給自己理發(fā)。 “R是所有不包含自身的集合的集合。”
人們同樣會(huì )問(wèn)：“R包含不包含R自身？”如果不包含，由R的定義，R應屬于R。如果R包含自身的話(huà)，R又不屬于R。
一個(gè)圖書(shū)館編纂了一本書(shū)名詞典，它列出這個(gè)圖書(shū)館里所有不列出自己書(shū)名的書(shū)。那么它列不列出自己的書(shū)名？ “世界上沒(méi)有絕對的真理” 我們不知道這句話(huà)本身是不是“絕對的真理”。
在芝諾看來(lái)，由于飛箭在其飛行的每個(gè)瞬間都有一個(gè)瞬時(shí)的位置，它在這個(gè)位置上和不動(dòng)沒(méi)有什么區別。那么，無(wú)限個(gè)靜止位置的總和就等于運動(dòng)了嗎？或者無(wú)限重復的靜止就是運動(dòng)？中國古代也有類(lèi)似的說(shuō)法有學(xué)生問(wèn)他的希臘老師：“什么是詭辯？”老師反問(wèn)到：“有甲乙兩人，甲很干凈，乙很臟。
如果請他們洗澡，他們中間誰(shuí)會(huì )洗？” 這里有四種可能，一是甲洗，因為他有愛(ài)干凈的習慣；二是乙洗，因為他需要；三是兩人都洗，一個(gè)是因為習慣，另一個(gè)是因為需要；四是兩人都沒(méi)洗，因為臟人沒(méi)有洗澡的習慣，干凈人不需要洗。這四種可能彼此相悖，無(wú)論學(xué)生作出怎樣的回答，老師都可以予以反駁，因為他不需要有一個(gè)客觀(guān)的標準，這就是詭辯。
這是一個(gè)可以自圓其說(shuō)的乩語(yǔ)。它也有四種解釋?zhuān)阂皇恰案冈冢赶韧觥保欢恰案冈谀钢韧觥保蝗侨绻改附≡冢梢越忉尀閷?lái)；四是即使父母都去世了，也可以解釋為“父親在的時(shí)候，母親就去世了。”
或者是“父親在母親以前就去世了。”真是左右逢源。
這個(gè)命題與“白馬非馬”何其相似，盡管論證的方法和目的不同。荀子把墨辯“殺盜非殺人也”歸入“惑于用名以亂名”的詭辯。
荀子認為，在外延方面“人”的范疇包含了“盜”的范疇。所以，說(shuō)“盜”的時(shí)候，就意味著(zhù)說(shuō)他同時(shí)也是“人”；殺“盜”也是殺人。
8.求歷史上有名的"悖論"故事或命題.
故事1、有人要哲學(xué)家羅素證明從“2+2=5”推出“羅素是教皇”。
聰明的羅素做出了以下的證明： 1） 假定2+2=5; 2） 等式兩邊各減去2，得出2=3; 3） 易位得3=2 4） 兩邊各減去1，得出2=1; 5） 教皇與羅素是兩個(gè)人，但既然2=1，教皇與羅素就是一個(gè)人，所以羅素是教皇。 ——羅素是教皇的前提是2+2=5，這是一個(gè)假設，我們往往認為假設是暫時(shí)可以成立的（猜想的含義基本等于假設），許多數學(xué)中的猜想最后都得到了驗證。
但是猜想，也就是說(shuō)假設在沒(méi)有驗證之前它是不成立的，因此在2+2=5沒(méi)有得到證明之前，羅素不是教皇，即使2+2=5的假設被證明是成立的，羅素也不是教皇，因為按照“認字的人”先生文中“語(yǔ)言邏輯思維和事實(shí)是兩回事”的觀(guān)點(diǎn)，2+2=5和羅素=教皇是兩回事，這很容易理解，所以詭辯是建立在一個(gè)錯誤的假設的基礎上的。 故事2、古希臘哲學(xué)家普羅太哥拉精通法律和詭辯術(shù)，他有個(gè)窮學(xué)生交不起學(xué)費，普羅太哥拉就答應他先免費上學(xué)，等他畢業(yè)后打贏(yíng)第一場(chǎng)官司再付錢(qián)。
結果這個(gè)學(xué)生畢業(yè)后一直不去打官司，也就總不給普羅太哥拉交錢(qián)，普羅太哥拉上法院告了這個(gè)學(xué)生。可是，這個(gè)學(xué)生深得真傳，詭辯功力和老師不相上下。
學(xué)生在法庭上說(shuō)：如果我輸掉這場(chǎng)官司，那么我就還沒(méi)打贏(yíng)過(guò)官司，也就用不著(zhù)向老師交錢(qián)；如果我贏(yíng)了這場(chǎng)官司，也就是說(shuō)，法庭駁回老師的要求，那么我還是不用交錢(qián)。總之，無(wú)論輸贏(yíng)，我都不用交錢(qián)。
對此，老師反駁說(shuō)：如果學(xué)生輸掉這場(chǎng)官司，既然輸了就說(shuō)明我的要求是正當的，那么他就必須交錢(qián)；如果他打贏(yíng)了這場(chǎng)官司，他就贏(yíng)過(guò)了第一場(chǎng)官司，那么他還是必須交錢(qián)。 總之，無(wú)論輸贏(yíng)，他都必須交錢(qián)。
——在這場(chǎng)訴訟中似乎沒(méi)有任何一個(gè)法官能夠做出令訴訟雙方都信服的判決，但是只要解決了受教育的目的，以及教育是義務(wù)的行為，還是應該得到報酬這樣一個(gè)契約關(guān)系，判決就不難做出，而支付報酬的相關(guān)條件必須符合大的契約關(guān)系，所以普羅太哥拉應該勝訴。 故事3、飛箭從甲點(diǎn)飛到乙點(diǎn)，其間必然經(jīng)過(guò)無(wú)數個(gè)位置，有限的時(shí)間內決不可能通過(guò)無(wú)窮多的位點(diǎn)。
補充：如果飛箭能夠通過(guò)，它就必須需要使用無(wú)窮的時(shí)間，而在無(wú)窮的時(shí)間我們無(wú)法證明它是否通過(guò)了 ——這個(gè)悖論很有意思，它存在前提是在暗示時(shí)間與空間是一個(gè)共同體，沒(méi)有任何的差別，但是我們知道時(shí)間和空間雖然是共存的，但卻不是一個(gè)“物體”的兩種形式，時(shí)間的單位不能等同于空間的單位，時(shí)間之所以存在，完全是因為“任何兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)之間都存在一個(gè)時(shí)間段，而這個(gè)時(shí)間段上速度的積分就是兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)之間飛箭運動(dòng)的位移。 ”（摘自[匿名] 塞克斯）因此這個(gè)悖論是不成立的。
故事4、在任何一個(gè)特定時(shí)點(diǎn)（也就是位點(diǎn)），飛箭都是固定不動(dòng)的，無(wú)限個(gè)靜止的集合，不可能組成運動(dòng)。 補充：所以飛箭一直是靜止的。
——這個(gè)悖論不成立的原因同上。 故事5、在薩維爾村，理發(fā)師掛出一塊招牌：“我只給村里所有那些不給自己理發(fā)的人理發(fā)。
”有人問(wèn)他：“你給不給自己理發(fā)？”理發(fā)師頓時(shí)無(wú)言以對。 ——理發(fā)師的問(wèn)題在于“不給自己理發(fā)”，不給自己理發(fā)同允許別人給自己理發(fā)是兩個(gè)概念。
如果我沒(méi)有理解錯的話(huà)，“給自己理發(fā)”應該意味著(zhù)是自己動(dòng)手理自己的發(fā)，至少具有這樣的含義。所以理發(fā)師可以給所有的不是自己動(dòng)手理發(fā)的人理發(fā)，也可以允許別人給自己理發(fā)。
故事6、“所有克利特人都說(shuō)謊 ，他們中間的一個(gè)詩(shī)人這么說(shuō)。” ——這個(gè)悖論的第一個(gè)要點(diǎn)在于詩(shī)人也是克利特人之一，第二個(gè)要點(diǎn)是悖論的成立被限制在一個(gè)固定的時(shí)間和空間之內，詩(shī)人說(shuō)這句話(huà)時(shí)可能沒(méi)有撒謊，但是不能排除在其他的時(shí)間段里沒(méi)有撒謊。
還有一個(gè)很著(zhù)名的悖論：有人問(wèn)上帝，你能不能造一個(gè)連自己也舉不動(dòng)的石頭，如果能，那么就證明你是萬(wàn)能的，但是你制造出這樣一個(gè)石頭自己卻舉不動(dòng)，你也不是萬(wàn)能的。 ——這個(gè)悖論是建立在上帝是具體存在的這個(gè)假設的基礎之上的，而事實(shí)上，上帝是人們的一種信仰，他并不是一個(gè)真實(shí)、客觀(guān)的存在。
我們都知道，信仰可以促使人們去對客觀(guān)環(huán)境產(chǎn)生作用，但是自己卻什么也做不了，它必須通過(guò)一個(gè)“代理人”才能實(shí)現其價(jià)值。讓上帝這個(gè)并不具體存在的“概念”來(lái)制造一件東西顯然是荒謬的。
關(guān)于時(shí)間悖論的故事 一九四五年的一天，克力富蘭的孤兒院里出現了一個(gè)神秘的女?huà)耄瑳](méi)有人知道她的父母是誰(shuí)。 她孤獨地長(cháng)大，沒(méi)有任何人與她來(lái)往。
直到一九六三年的一天，她莫明其妙地愛(ài)上了一個(gè)流浪漢，情況才變得好起來(lái)。可是好景不長(cháng)，不幸事件一個(gè)接一個(gè)的發(fā)生。
首先，當她發(fā)現自己懷上了流浪漢的小孩時(shí)，流浪漢卻突然失蹤了。其次，她在醫院生小孩時(shí)，醫生發(fā)現她是雙性人，也就是說(shuō)她同時(shí)具有男女性器官。
為了挽救她的生命，醫院給她做了變性手術(shù)，她變成了他 。最不幸的是，她剛剛生下的小女孩又被一個(gè)神秘的人給綁走了。
這一連串的打擊使他從此一蹶不振，最后流落到街頭變成了一個(gè)無(wú)家可歸的流浪漢。 直到一九七零年的一天，他醉熏熏地走進(jìn)了一個(gè)名叫[url] 的小酒吧，把他一身不幸的遭遇告訴了一個(gè)比他年長(cháng)的酒吧伙計。
酒吧伙計很同情他，主動(dòng)提出幫他找到那。
