集合的(集合的)
1.集合的基礎知識
集合
jíhé
[assemble;collect;congrate;converge;muster;rally;gether;call together] 分散的人或事物聚集到一起；使聚集
緊急集合
集合
jíhé
[aggregate] 一組具有某種共同性質(zhì)的數學(xué)元素
有理數的集合
一.數學(xué)術(shù)語(yǔ)
集合的概念：
一定范圍的，確定的，可以區別的事物，當作一個(gè)整體來(lái)看待，就叫做集合，簡(jiǎn)稱(chēng)集，其中各事物叫做集合的元素或簡(jiǎn)稱(chēng)元。如（1）阿Q正傳中出現的不同漢字（2）全體英文大寫(xiě)字母
集合的分類(lèi)：
并集：以屬于A(yíng)或屬于B的元素為元素的集合成為A與B的并（集）
交集： 以屬于A(yíng)且屬于B的元素為元素的集合成為A與B的交（集）
差：以屬于A(yíng)而不屬于B的元素為元素的集合成為A與B的差（集）
注：空集屬于任何集合，但它不屬于任何元素.
某些指定的對象集在一起就成為一個(gè)集合，含有有限個(gè)元素叫有限集，含有無(wú)限個(gè)元素叫無(wú)限集，空集是不含任何元素的集，記做Φ。
集合的性質(zhì)：
確定性：每一個(gè)對象都能確定是不是某一集合的元素，沒(méi)有確定性就不能成為集合，例如“個(gè)子高的同學(xué)”“很小的數”都不能構成集合。
互異性：集合中任意兩個(gè)元素都是不同的對象。不能寫(xiě)成{1,1,2}應寫(xiě)成{1,2}
無(wú)序性：{a,b,c}{c,b,a}是同一個(gè)集合。
二.動(dòng)詞
表示一種呼叫某人或一群人集中在一起的口令.
集合的表示方法，常用的有列舉法和描述法。
集合學(xué)
集合論（簡(jiǎn)稱(chēng)集論）是一門(mén)研究集合的數學(xué)理論。這里的集合指由一些抽象的數學(xué)對象構成的整體。集合、元素和成員關(guān)系是數學(xué)中最基本的概念。集論（加上邏輯和謂詞演算）是數學(xué)的公理化基礎之一，通過(guò)集合及成員關(guān)系來(lái)形式化地表示其它數學(xué)對象。
集合論可以用來(lái)表示一系列略有不同的概念：
樸素集合論是由19世紀末的德國數學(xué)家康托最早提出的集合論。
公理化集合論是一個(gè)更加嚴格的理論，它是發(fā)現了原始集合論里的一些錯誤（如：羅素悖論）后而修正的。
Z集合論由德國數學(xué)家Ernst Zermelo創(chuàng )立的一個(gè)公理集合論。
ZF集合論是最常用的公理集合論，由Abraham Fraenkel和Thoralf Skolem擴展了Z集合論所得。
不同的邏輯系統有相應不同的集合（如模糊邏輯里的模糊集合）。
音樂(lè )集合理論可以被看成是集合論在音樂(lè )上的應用。
2.有關(guān)集合的相關(guān)知識
1、集合的含義：把研究對象統稱(chēng)為元素，把一些元素組成的總體叫做集合（簡(jiǎn)稱(chēng)集）。
用大寫(xiě)字母A,B,C…表示集合，用小寫(xiě)字母a,b,c…表示集合中的元素.2.集合的分類(lèi)：有限集——含有有限個(gè)元素的集合。 無(wú)限集——含有無(wú)限個(gè)元素的集合。
3、特性：1.確定性：給定的集合，他的元素必須是確定的，也就是說(shuō)給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了2.互異性：一個(gè)給定的集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不能相同3.無(wú)序性：集合中的元素是無(wú)先后順序的， 即集合里的任何兩個(gè)元素可以交換位置4、集合的表示方法：1.自然語(yǔ)言法：用文字把元素所具有的屬性描述出來(lái)， 并用花括號{}括起來(lái)表示. 如﹛自然數﹜ 2.列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái)的方法， 也用花括號{}括起來(lái)表示.如：{1,2,3,4}3.描述法：用集合所含的共同特征表示集合 的方法.如：{x| P(x)}或{x∈A| P(x)}注意：舉例法和描述法不要混淆了~如：{x| 1,2,3,4} （這樣是錯誤的），應該是：{1,2,3,4}或：{x∈N*| 0。
3.集合的相關(guān)知識
1、集合的含義：把研究對象統稱(chēng)為元素，把一些元素組成的總體叫做集合（簡(jiǎn)稱(chēng)集）。
用大寫(xiě)字母A,B,C…表示集合，用小寫(xiě)字母a,b,c…表示集合中的元素.
2.集合的分類(lèi)：
有限集——含有有限個(gè)元素的集合。
無(wú)限集——含有無(wú)限個(gè)元素的集合。
3、特性：
1.確定性：給定的集合，他的元素必須是確定的，也就是說(shuō)給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了
2.互異性：一個(gè)給定的集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不能相同
3.無(wú)序性：集合中的元素是無(wú)先后順序的， 即集合里的任何兩個(gè)元素可以交換位置
4、集合的表示方法：
1.自然語(yǔ)言法：用文字把元素所具有的屬性描述出來(lái)， 并用花括號{}括起來(lái)表示. 如﹛自然數﹜
2.列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái)的方法， 也用花括號{}括起來(lái)表示.如：{1,2,3,4}
3.描述法：用集合所含的共同特征表示集合 的方法.如：{x| P(x)}或{x∈A| P(x)}
注意：舉例法和描述法不要混淆了~如：{x| 1,2,3,4} （這樣是錯誤的），應該是：{1,2,3,4}或：{x∈N*| 0
4.集合的相關(guān)知識
1、集合的含義：把研究對象統稱(chēng)為元素，把一些元素組成的總體叫做集合（簡(jiǎn)稱(chēng)集）。
用大寫(xiě)字母A,B,C…表示集合，用小寫(xiě)字母a,b,c…表示集合中的元素.2.集合的分類(lèi)：有限集——含有有限個(gè)元素的集合。 無(wú)限集——含有無(wú)限個(gè)元素的集合。
3、特性：1.確定性：給定的集合，他的元素必須是確定的，也就是說(shuō)給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了2.互異性：一個(gè)給定的集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不能相同3.無(wú)序性：集合中的元素是無(wú)先后順序的， 即集合里的任何兩個(gè)元素可以交換位置4、集合的表示方法：1.自然語(yǔ)言法：用文字把元素所具有的屬性描述出來(lái)， 并用花括號{}括起來(lái)表示. 如﹛自然數﹜ 2.列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái)的方法， 也用花括號{}括起來(lái)表示.如：{1,2,3,4}3.描述法：用集合所含的共同特征表示集合 的方法.如：{x| P(x)}或{x∈A| P(x)}注意：舉例法和描述法不要混淆了~如：{x| 1,2,3,4} （這樣是錯誤的），應該是：{1,2,3,4}或：{x∈N*| 0。
5.能給我詳解一下關(guān)于集合的基礎知識
1、對于兩個(gè)集合A、B，二者之間一定具有包含關(guān)系嗎？試舉例說(shuō)明。
2、兩個(gè)實(shí)數可以進(jìn)行加、減、乘、除四則運算，那么兩個(gè)集合是否也可以進(jìn)行某種運算呢？
知識探究（一）
考察下列兩組集合：
(1)A={1,3,5},B={1,2,3,4},C={1,2,3,4,5}
(2)A={x|0思考：上述兩組集合中，集合A、B與集合C的關(guān)系如何？
由所有屬于集合A或屬于集合B的元素組成的集合，稱(chēng)為集合A與B的并集。
思考：我們用符號“A∪B”表示集合A與B的并集，并讀作“A并B”，那么如何用描述法表示集合A∪B?
思考：如何用venn圖表示A∪B?
思考：集合A、B與集合A∪B的關(guān)系如何？A∪B與B∪A的關(guān)系如何？
思考：集合A∪A,A∪分別等于什么？
思考：若AB，則A∪B等于什么？反之成立嗎？
思考：如A∪B=，則說(shuō)明什么？
并集例題：
例1：設A={4,5,6,8},B={3,5,7,8}，求A∪B。
例2：設集合A={x|-1知識探究（二）
考察下列兩組集合：
(1)A={1,3,5},B={1,2,3,4},C={1,3}
(2)A={x|0思考：上述兩組集合中，集合A、B與集合C的關(guān)系如何？
由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱(chēng)為集合A與B的交集。
我們用符號“A∩B”表示集合A與B的交集，并讀作“A交B”，那么如何用描述法表示集合A∩B?
思考：如何用venn圖表示A∩B?
思考：集合A、B與集合A∩B的關(guān)系如何？A∩B與B∩A的關(guān)系如何？
思考：集合A∩A,A∩分別等于什么？
思考：若AB，則A∩B等于什么？反之成立嗎？
思考：如A∩B=，則說(shuō)明什么？
交集例題：
例3:A={x|x是新華中學(xué)高一年級參加百米賽跑的同學(xué)}，B={x|x是新華中學(xué)高一年級參加跳高比賽的同學(xué)}。求A∪B。
例4：設平面內直線(xiàn)l1上點(diǎn)的集合為L(cháng)1，直線(xiàn)l2上點(diǎn)的集合為L(cháng)2，試用集合的運算表示l1,l2的位置關(guān)系。
知識探究（三）
思考：方程（x-2）(x2-3)=0在有理數范圍內的解是什么？在實(shí)數范圍內的解是什么？
思考：不等式0由此看來(lái)：在不同范圍內研究同一個(gè)問(wèn)題，可能有不同的結果，我們通常把研究問(wèn)題前給定的范圍所對應的集合稱(chēng)為全集，如Q,R,Z等，那么全集的含義如何呢？
如果一個(gè)集合含有所研究問(wèn)題中涉及的所有元素，則稱(chēng)這個(gè)集合為全集，通常記作U。
知識探究（四）
考察下列各組集合：
(1)U={1,2,3,4，…，10},A={1,3,5,7,9},B={2,4,6,8,10}
(2)U={x|x是市一高一年級2班的同學(xué)}，A={x|x是市一高一年級2班的男同學(xué)}，U={x|x是市一高一年級2班的女同學(xué)}
(3)U={x|0思考：在上述各組集合中，把集合U看成全集，我們稱(chēng)集合B為集合A相對于全集U的補集。一般地，集合A相對于全集U的補集是由哪些元素組成的？
由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的。
對于一個(gè)集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合，稱(chēng)為集合A相對于全集U的補集，記作CUA。
思考：如何用描述法表示集合A相對于全集U的補集？如何用veuu圖表示CUA?
思考：集合CU,CUU,A∩CUA,A∪CUA，分別等于什么？
思考：若CUA=B，則CUB等于什么？若AB，則CUA與CUB的關(guān)系如何？
補集例題：
例5：設全集U={x∈N*|x例6：已知全集U=R，集合A={x||x-1|>2},B={x|2例7：設全集U={x|x是三角形}，A={x|x是銳角三角形}，B={x|x是鈍角三角形}。
求A∩B,CU(A∪B)。
6.高一數學(xué)中關(guān)于集合的知識
集合 1. 研究集合必須注意集合元素的特征即三性（確定，互異，無(wú)序）； 已知集合A={x,xy,lgxy}，集合B={0,|x|,y}，且A=B，則x+y= 2. 研究集合，首先必須弄清代表元素，才能理解集合的意義。
已知集合M={y|y=x2 ,x∈R},N={y|y=x2+1,x∈R}，求M∩N；與集合M={(x,y)|y=x2 ,x∈R},N={(x,y)|y=x2+1,x∈R}求M∩N的區別。 3. 集合 A、B，時(shí)，你是否注意到“極端”情況：或；求集合的子集時(shí)是否忘記. 例如：對一切恒成立，求a的取植范圍，你討論了a=2的情況了嗎？ 4. 對于含有n個(gè)元素的有限集合M， 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個(gè)數依次為 如滿(mǎn)足條件的集合M共有多少個(gè) 5. 解集合問(wèn)題的基本工具是韋恩圖； 某文藝小組共有10名成員，每人至少會(huì )唱歌和跳舞中的一項，其中7人會(huì )唱歌跳舞5人會(huì )，現從中選出會(huì )唱歌和會(huì )跳舞的各一人，表演一個(gè)唱歌和一個(gè)跳舞節目，問(wèn)有多少種不同的選法？ 6. 兩集合之間的關(guān)系。
7. (CUA)∩（ CU B） =CU(A∪B) (CUA)∪（ CUB） = CU(A∩B);;。
7.誰(shuí)能給我講講有關(guān)集合的知識
集合是什么，通俗地說(shuō)它是一些元素組成的集體，是一些確定而又可分的“物”的集體。集合并不指具體的“物”，而是由物的集體所組成的新對象。20世紀以來(lái)的研究表明，不僅微積分的基礎——實(shí)數理論奠定在集合論的基礎上，而且各種復雜的數學(xué)概念都可以用“集合”概念定義出來(lái)，而各種數學(xué)理論又都可以“嵌入”集合論之內。因此，集合論就成了全部數學(xué)的基礎，而且有力地促進(jìn)了各個(gè)數學(xué)分支的發(fā)展。現代數學(xué)幾乎所有的分支都會(huì )用到集合這個(gè)概念。
集合論最重要的創(chuàng )建者是康托爾（Georg Cantor,1845—1918）。在19世紀人們很少懷疑微積分的基礎應該建立在嚴密的實(shí)數理論上，而嚴密的實(shí)數理論可以由集合論推出。但是微積分本質(zhì)上是一種“無(wú)限數學(xué)”。那么無(wú)限集合的本質(zhì)是什么？它是否具備有限集合所具有的性質(zhì)？
從19世紀60年代起，法國數學(xué)家康托爾承擔了這一工作，他清楚地看到以往數學(xué)基礎中的問(wèn)題，都與無(wú)窮集合有關(guān)。康托爾的集合論的建立，不僅是數學(xué)發(fā)展史上一座高聳的里程碑，甚至還是人類(lèi)思維發(fā)展史上的一座里程碑。它標志著(zhù)人類(lèi)經(jīng)過(guò)幾千年的努力，終于基本上弄清了無(wú)限的性質(zhì)，找到了制服無(wú)限“妖怪”的法寶。蘇聯(lián)著(zhù)名數學(xué)家柯?tīng)柲曷宸蛘f(shuō)：“康托爾的不朽功績(jì)在于向無(wú)限冒險邁進(jìn)。”德國數學(xué)大師伯特贊揚康托爾的理論是“數學(xué)思想最驚人的產(chǎn)物，在純粹理性的范疇中人類(lèi)活動(dòng)最美的表現之一”。
然而事情并非總是順利的。1900年左右，正當康托爾的思想逐漸被人接受，并成功地把集合論應用到了許多別的數學(xué)領(lǐng)域中去，大家認為數學(xué)的“絕對嚴格性”有了保證的時(shí)候，一系列完全沒(méi)有想到的邏輯矛盾，在集合論的邊緣被發(fā)現了。開(kāi)始，人們并不直接稱(chēng)之為矛盾，而是只把它們看成數學(xué)中的奇特現象。1903年英國哲學(xué)家兼數學(xué)家羅素（Russell, B.A.W,1872—1970）提出了一個(gè)悖論，“一切不包含自身的集合所形成的集合是否包含自身？”答案如果說(shuō)是，即包含自身，屬于這個(gè)集合，那么它就不包含自身；如果說(shuō)否，它不包含自身，那么它理應是這個(gè)集合的元素，即包含自身。
可能有人看不懂羅素悖論，沒(méi)關(guān)系，羅素本人就用通俗的“理發(fā)師悖論”作了比喻；理發(fā)師自稱(chēng)，他給所有自己不刮胡子的人刮胡子，但不給任何自己刮胡子的人刮胡子。試問(wèn)理發(fā)師該不該給自己刮胡子？如果他從來(lái)不給自己刮胡子，就屬于“自己不刮胡子的人”。根據他的自稱(chēng)，他就應該給自己刮胡子，但是，一旦他給自己刮胡子，他就成了“自己刮胡子的人”了。還是根據他的自稱(chēng)，他就不應該給自己刮胡子。所以不管理發(fā)師的胡子由誰(shuí)來(lái)刮，都會(huì )產(chǎn)生矛盾。羅素悖論以其簡(jiǎn)單、明確震動(dòng)了整個(gè)西方數學(xué)界和邏輯學(xué)界，邏輯學(xué)家費雷格收到羅素的信之后，在他剛要出版的《算術(shù)基礎法則》第二卷末尾寫(xiě)道：“一位科學(xué)家不會(huì )碰到比這更難甚的事情了，即在工作完成之時(shí)，它的基礎垮掉了。當這本書(shū)等待付印的時(shí)候，羅素先生的一封信把我置于這種境地。”弗雷格對羅素悖論的迅速反應是驚恐地感到：“算術(shù)開(kāi)始受難。”
數學(xué)史上第三次危機來(lái)臨了，數學(xué)王國的居民們惶惶不安，因為數學(xué)家們一貫追求嚴密性，一旦發(fā)現他們自稱(chēng)絕對嚴密的數學(xué)的基礎——集合論并不嚴密，竟然出現了“悖論”這種自相矛盾的結果，可以想像，他們是多么震驚。震驚之余，數學(xué)家們意識到，應當建立某種公理系統來(lái)對集合論作出必要的規定，以排除“羅素悖論”和其他有關(guān)的“悖論”。現在，各種成功地解決悖論的方案都對集合的“無(wú)限擴張”進(jìn)行了限制，因此現在任何一種形式的集合論，實(shí)質(zhì)上都包含一個(gè)“限制大小”的公理。
