三角形的(三角形的全部知識)
1.三角形的全部知識
1、三角形的分類(lèi)
三角形按邊的關(guān)系分類(lèi)如下：
三角形包括不等邊三角形和等腰三角形
等腰三角形 包括底和腰不相等的等腰三角形和等邊三角形
三角形按角的關(guān)系分類(lèi)如下：
三角形包括 直角三角形（有一個(gè)角為直角的三角形）和斜三角形
斜三角形 包括 銳角三角形（三個(gè)角都是銳角的三角形）和 鈍角三角形（有一個(gè)角為鈍 角的三角形）
把邊和角聯(lián)系在一起，我們又有一種特殊的三角形：等腰直角三角形。它是兩條直角邊相等的直角三角形。
2、三角形的三邊關(guān)系定理及推論
(1)三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊。
推論：三角形的兩邊之差小于第三邊。
3、三角形的內角和定理及推論
三角形的內角和定理：三角形三個(gè)內角和等于180°。
推論：
①直角三角形的兩個(gè)銳角互余。
②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的來(lái)兩個(gè)內角的和。
③三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內角。
注：在同一個(gè)三角形中：等角對等邊；等邊對等角；大角對大邊；大邊對大角。
4、三角形的面積
三角形的面積=*底*高
全等三角形
1、全等三角形的概念
能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。
2、三角形全等的判定
三角形全等的判定定理：
(1)邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊角邊”或“SAS”）
(2)角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“角邊角”或“ASA”）
(3)邊邊邊定理：有三邊對應相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊邊邊”或“SSS”）。
直角三角形全等的判定：
對于特殊的直角三角形，判定它們全等時(shí)，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡(jiǎn)寫(xiě)成“斜邊、直角邊”或“HL”）
3、全等變換
只改變圖形的位置，不改變其形狀大小的圖形變換叫做全等變換。
全等變換包括一下三種：
(1)平移變換：把圖形沿某條直線(xiàn)平行移動(dòng)的變換叫做平移變換。
(2)對稱(chēng)變換：將圖形沿某直線(xiàn)翻折180°，這種變換叫做對稱(chēng)變換。
(3)旋轉變換：將圖形繞某點(diǎn)旋轉一定的角度到另一個(gè)位置，這種變換叫做旋轉變換。
等腰三角形
1、等腰三角形的性質(zhì)
(1)等腰三角形的性質(zhì)定理及推論：
定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱(chēng)：等邊對等角）
推論1：等腰三角形頂角平分線(xiàn)平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的頂角平分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)、底邊上的高重合。
推論2：等邊三角形的各個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°。
2、三角形中的中位線(xiàn)
連接三角形兩邊中點(diǎn)的線(xiàn)段叫做三角形的中位線(xiàn)。
(1)三角形共有三條中位線(xiàn)，并且它們又重新構成一個(gè)新的三角形。
(2)要會(huì )區別三角形中線(xiàn)與中位線(xiàn)。
三角形中位線(xiàn)定理：三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊，并且等于它的一半。
三角形中位線(xiàn)定理的作用：
位置關(guān)系：可以證明兩條直線(xiàn)平行。
數量關(guān)系：可以證明線(xiàn)段的倍分關(guān)系。
常用結論：任一個(gè)三角形都有三條中位線(xiàn)，由此有：
結論1：三條中位線(xiàn)組成一個(gè)三角形，其周長(cháng)為原三角形周長(cháng)的一半。
結論2：三條中位線(xiàn)將原三角形分割成四個(gè)全等的三角形。
結論3：三條中位線(xiàn)將原三角形劃分出三個(gè)面積相等的平行四邊形。
結論4：三角形一條中線(xiàn)和與它相交的中位線(xiàn)互相平分。
結論5：三角形中任意兩條中位線(xiàn)的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等。
2.三角形的所有知識點(diǎn),包括作圖
三角形知識的實(shí)際運用
保明華
三角形知識主要包括三角形內的有關(guān)線(xiàn)段，三角形的三邊關(guān)系，三角形的內角和及多邊形的內角和。本文以三角形的邊、角關(guān)系為例，談?wù)勂湓趯?shí)際中的應用。
三角形的三邊關(guān)系是：三角形的任意兩邊之和大于第三邊；三角形的三角關(guān)系是：三角形的內角和是180°，任一外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內角之和。
例1（山西省中考題）如圖1，平面上有A,B,C,D四個(gè)村莊，為了解決當地缺水問(wèn)題，政府準備投資修建一個(gè)蓄水池，（不考慮其他因素）請你畫(huà)圖確定蓄水池H點(diǎn)的位置，使它與四個(gè)村莊的距離之和最小。
解析 蓄水池H，應建在四邊形ABCD兩對角線(xiàn)的交點(diǎn)處才符合要求。
不妨任取一點(diǎn)P，由“三角形的兩邊之和大于第三邊”可推出：PA+PC≥AC PB+PD≥BD
所以PA+PB+PC+PD≥AC+BD
即PA+PB+PC+PD≥HA+HB+HC+HD
所以?xún)蓷l對角線(xiàn)的交點(diǎn)H到四個(gè)村莊的距離之和最小。
例2（寧夏回族自治區中考題）一個(gè)零件的形狀如圖2所示，按規定∠A應等于 ，∠B和∠C應分別是32°和21°。檢驗工人量得∠BDC=148°，就斷定這個(gè)零件不合格，運用三角形的有關(guān)知識說(shuō)明零件不合格的理由。
解析 要說(shuō)明零件不符合規格，只要說(shuō)明按規定的標準，∠CDB≠148°即可。延長(cháng)BD交AC于點(diǎn)E。∠BDC=∠1+∠C（你知道為什么嗎？）∠1=∠A+∠B。即∠BDC=∠A+∠B+∠C=90°+32°+21°=143°≠148°。
所以這個(gè)零件不合格。
例3 某工程隊準備開(kāi)挖一條隧道，從縮短工期考慮，自山的兩側同時(shí)開(kāi)挖。為了確保兩側開(kāi)挖的隧道在同一條直線(xiàn)上，測量人員在如圖3的同一高度定出了兩個(gè)基準點(diǎn)P（可同時(shí)看到點(diǎn)A,M,N）和Q，然后在左邊定出開(kāi)挖的方向線(xiàn)AM，為了準確定出右邊開(kāi)挖的方向線(xiàn)BN，測得∠A=25°，∠APQ=120°，如果點(diǎn)A,M,B在同一直線(xiàn)上，那么∠PBN應等于多少度才能確定N點(diǎn)的位置使與點(diǎn)A,M,B在同一條直線(xiàn)上？
解析 因為點(diǎn)A,M,B在同一直線(xiàn)上，若N點(diǎn)也在這條直線(xiàn)上時(shí)，則PA,PB和AMNB構成了三角形的三邊，∠NBP是該三角形的一個(gè)內角，其度數為180°-∠A-∠P=180°-25°-120°=35°。
3.三角形知識 初二 20個(gè)知識點(diǎn)
三角形的定義 三角形是多邊形中邊數最少的一種。
它的定義是：由不在同一條直線(xiàn)上的三條線(xiàn)段首尾順次相接組成的圖形叫做三角形。 三條線(xiàn)段不在同一條直線(xiàn)上的條件，如果三條線(xiàn)段在同一條直線(xiàn)上，我們認為三角形就不存在。
另外三條線(xiàn)段必須首尾順次相接，這說(shuō)明三角形這個(gè)圖形一定是封閉的。三角形中有三條邊，三個(gè)角，三個(gè)頂點(diǎn)。
三角形中的主要線(xiàn)段 三角形中的主要線(xiàn)段有：三角形的角平分線(xiàn)、中線(xiàn)和高線(xiàn)。 這三條線(xiàn)段必須在理解和掌握它的定義的基礎上，通過(guò)作圖加以熟練掌握。
并且對這三條線(xiàn)段必須明確三點(diǎn)： （1）三角形的角平分線(xiàn)、中線(xiàn)、高線(xiàn)均是線(xiàn)段，不是直線(xiàn)，也不是射線(xiàn)。 （2）三角形的角平分線(xiàn)、中線(xiàn)、高線(xiàn)都有三條，角平分線(xiàn)、中線(xiàn)，都在三角形內部。
而三角形的高線(xiàn)在當△ABC是銳角三角形時(shí)，三條高都是在三角形內部，鈍角三角形的高線(xiàn)中有兩個(gè)垂足落在邊的延長(cháng)線(xiàn)上，這兩條高在三角形的外部，直角三角形中有兩條高恰好是它的兩條直角邊。 （3）在畫(huà)三角形的三條角平分線(xiàn)、中線(xiàn)、高時(shí)可發(fā)現它們都交于一點(diǎn)。
在以后我們可以給出具體證明。今后我們把三角形三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)叫做三角形的內心，三條中線(xiàn)的交點(diǎn)叫做三角形的重心，三條高的交點(diǎn)叫做三角形的垂心。
三角形的按邊分類(lèi) 三角形的三條邊，有的各不相等，有的有兩條邊相等，有的三條邊都相等。所以三角形按邊的相等關(guān)系分類(lèi)如下： 等邊三角形是等腰三角形的一種特例。
判定三條邊能否構成三角形的依據 △ABC的三邊長(cháng)分別是a、b、c，根據公理“連接兩點(diǎn)的所有線(xiàn)中，線(xiàn)段最短”。可知： ③a+b>c，①a+c>b，②b+c>a 定理：三角形任意兩邊的和大于第三邊。
由②、③得 b―a―c 故|a―b|-a.也就是a+c>b且a+b>c，再加上b+c>a，便滿(mǎn)足任意兩邊之和大于第三邊的條件。反過(guò)來(lái)，只要a、b、c三條線(xiàn)段滿(mǎn)足能構成三角形的條件，則一定有|b-c|a就可判定a、b、c三條線(xiàn)段能夠構成三角形。
同時(shí)如果已知線(xiàn)段a最小，只要滿(mǎn)足|b-c。
4.簡(jiǎn)單說(shuō)一下有關(guān)三角形的數學(xué)知識
什么是三角形？ 由三條邊首尾相接組成的內角和為180°的封閉圖形叫做三角形 例題：已知有一△ABC，求證∠ABC+∠BAC+∠BCA=180° 證明：做BC的延長(cháng)線(xiàn)至點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線(xiàn)至點(diǎn)E ∵AB‖CE（已知） ∴∠ABC=∠ECD（兩直線(xiàn)平行，同位角相等），∠BAC=∠ACE（兩直線(xiàn)平行，內錯角相等） ∵∠BCD=180° ∴∠ACB+∠ACE+∠ECD=∠BCD=180°（等式的性質(zhì)） ∴∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°（等量代換） 三角形是幾何圖案的基本圖形，幾邊形都是由三角形組成的。
兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)冉腔パa。 三角形的內角和 三角形的內角和為180度；三角形的一個(gè)外角等于另外兩個(gè)內角的和；三角形的一個(gè)外角大于其他兩內角的任一個(gè)角。
證明：根據三角形的外角和等于內角可以證明，詳細參見(jiàn)《優(yōu)因培：走進(jìn)三角形》 （1）如何證明三角形的內角和 方法1：將三角形的三個(gè)角撕下來(lái)拼在一起，求出內角和為180° 方法2：在三角形任意一個(gè)頂點(diǎn)處做輔助線(xiàn)，可求出內角和為180°編輯本段三角形分類(lèi) （1）按角度分 a.銳角三角形：三個(gè)角都小于90度 。并不是有一個(gè)銳角的三角形，而是三個(gè)角都為銳角，比如等邊三角形也是銳角三角形。
b.直角三角形（簡(jiǎn)稱(chēng)Rt 三角形）： ⑴直角三角形兩個(gè)銳角互余； ⑵直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半； ⑶在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.； ⑷在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°（和⑶相反）； c.鈍角三角形：有一個(gè)角大于90度（銳角三角形，鈍角三角形統稱(chēng)斜三角形）。 d.證明全等時(shí)可用HL方法 （2）按角分 a.銳角三角形：三個(gè)角都小于90度。
b.直角三角形：有一個(gè)角等于90度。 c.鈍角三角形：有一個(gè)角大于90度。
（銳角三角形和鈍角三角形可統稱(chēng)為斜三角形） （3）按邊分 不等腰三角形；等腰三角形（含等邊三角形）。編輯本段解直角三角形： 勾股定理，只適用于直角三角形（外國叫“畢達哥拉斯定理”） a^2+b^2=c^2， 其中a和b分別為直角三角形兩直角邊，c為斜邊。
勾股弦數是指一組能使勾股定理關(guān)系成立的三個(gè)正整數。比如：3,4,5。
他們分別是3,4和5的倍數。 常見(jiàn)的勾股弦數有：3,4,5;6,8,10;5,12,13；等等.編輯本段解斜三角形 在三角形ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c. 則有 （1）正弦定理 a/SinA=b/SinB= c/SinC=2r （外接圓半徑為r） (2)余弦定理。
a^2=b^2+c^2-2bc*CosA b^2=a^2+c^2-2ac*CosB c^2=a^2+b^2-2ab*CosC (3)余弦定理變形公式 cosA=(b^2+C^2-a^2)/2bC cosb=(a^2+c^2-b^2)/2aC cosC=(a^2+b^2-C^2)/2ab編輯本段三角形的性質(zhì) 1.三角形的任何兩邊的和一定大于第三邊 ，由此亦可證明得三角形的任意兩邊的差一定小于第三邊。 2.三角形內角和等于180度 3.等腰三角形的頂角平分線(xiàn)，底邊的中線(xiàn)，底邊的高重合，即三線(xiàn)合一。
4.直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方--勾股定理。直角三角形斜邊的中線(xiàn)等于斜邊的一半。
5.三角形的外角（三角形內角的一邊與其另一邊的延長(cháng)線(xiàn)所組成的角）等于與其不相鄰的兩個(gè)內角之和。 6.一個(gè)三角形最少有2個(gè)銳角。
7.三角形的角平分線(xiàn)：三角形一個(gè)角的平分線(xiàn)與這個(gè)角的對邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線(xiàn)段。 8.等腰三角形中，等腰三角形頂角的平分線(xiàn)平分底邊并垂直于底邊。
9.勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長(cháng)a,b,c有下面關(guān)系（a^2+b^2=c^2。） 那么這個(gè)三角形就一定是直角三角形。
10.三角形的外角和是360°。 11.等底等高的三角形面積相等。
12.底相等的三角形的面積之比等于其高之比，高相等的三角形的面積之比等于其底之比。 13.三角形三條中線(xiàn)的長(cháng)度的平方和等于它的三邊的長(cháng)度平方和的3/4。
14.在△ABC中恒滿(mǎn)足tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC。 15.三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內角。
16.全等三角形對應邊相等，對應角相等。 17.三角形的中心在三條中線(xiàn)的交點(diǎn)上。
18在三角形中至少有一個(gè)角大于等于60度，也至少有一個(gè)角小于等于60度。編輯本段三角形的五心、四圓、三點(diǎn)、一線(xiàn) 三角形的五心四圓三點(diǎn)一線(xiàn)這些是三角形的全部特殊點(diǎn)，以及基于這些特殊點(diǎn)的相關(guān)幾何圖形。
“五心”指重心（barycenter）、垂心、內心（incenter）、外心（circumcenter）和旁心；“四圓”為內切圓、外接圓、旁切圓和歐拉圓；“三點(diǎn)”是勒莫恩點(diǎn)、奈格爾點(diǎn)和歐拉點(diǎn)；“一線(xiàn)”即歐拉線(xiàn)。 以下記三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為A、B、C，相應的對邊邊長(cháng)為a、b、c，系數K(a) = -a^2+b^2+c^2,K(b)、K(c)類(lèi)推。
三線(xiàn)坐標各分量直接乘以相應邊長(cháng)即可轉換為面積坐標，以某點(diǎn)的面積坐標結合三頂點(diǎn)坐標計算該點(diǎn)平面直角坐標的方法：記某點(diǎn)面積坐標為（μa， μb， μc），三分量之和為μ，則有Px = （μa·Xa + μb·Xb + μc·Xc） / μ，Py類(lèi)推。 五心 名稱(chēng) 定義 三線(xiàn)坐標 （內心坐標） 面積坐標 （重心坐標） 重心 三條中線(xiàn)（頂點(diǎn)到對邊中點(diǎn)連線(xiàn)）的交點(diǎn) 1/a : 1/b : 1/c 1 : 1 : 1 垂心 三條高（頂點(diǎn)到對邊的垂線(xiàn)）的交點(diǎn) sec A : sec B : sec C 1/K(a) : 1/K(b) : 1/K(c) 或 tan(A) : tan(B) : tan(C) 內心 三條內角平分線(xiàn)的交點(diǎn) 1 : 1 : 1 a : b : c 外。
