冪函數高三(求有關(guān)冪函數的一切知識)
1.求有關(guān)冪函數的一切知識
簡(jiǎn)介
形如y=x^a(a為常數)的函數，即以底數為自變量 冪為因變量，指數為常量的函數稱(chēng)為冪函數。
當a取非零的有理數時(shí)是比較容易理解的，而對于a取無(wú)理數時(shí)，初學(xué)者則不大容易理解了。因此，在初等函數里，我們不要求掌握指數為無(wú)理數的問(wèn)題，只需接受它作為一個(gè)已知事實(shí)即可，因為這涉及到實(shí)數連續統的極為深刻的知識。
編輯本段
特性
對于a的取值為非零有理數，有必要分成幾種情況來(lái)討論各自的特性：
首先我們知道如果a=p/q，且p/q為既約分數（即p、q互質(zhì)），q和p都是整數，則x^(p/q)=q次根號下（x的p次方），如果q是奇數，函數的定義域是R，如果q是偶數，函數的定義域是[0，+∞）。當指數a是負整數時(shí)，設a=-k，則y=1/(x^k)，顯然x≠0，函數的定義域是（-∞，0）∪（0，+∞）。因此可以看到x所受到的限制來(lái)源于兩點(diǎn)，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數次的根號下而不能為負數，那么我們就可以知道：
排除了為0與負數兩種可能，即對于x>0，則a可以是任意[實(shí)數；
排除了為0這種可能，即對于x<0或x>0的所有實(shí)數，q不[能是偶數；
排除了為負數這種可能，即對于x為大于或等于0的所有實(shí)數，a就不能是負數。
編輯本段
定義域
總結起來(lái)，就可以得到當a為不同的數值時(shí)，冪函數的定義域的不同情況如下：
如果a為任意實(shí)數，則函數的定義域為大于0的所有實(shí)數；
如果a為負數，則x肯定不能為0，不過(guò)這時(shí)函數的定義域還必須根[據q的奇偶性來(lái)確定，即如果同時(shí)q為偶數，則x不能小于0，這時(shí)函數的定義域為大于0的所有實(shí)數；如果同時(shí)q為奇數，則函數的定義域為不等于0 的所有實(shí)數。
在x大于0時(shí)，函數的值域總是大于0的實(shí)數。
在x小于0時(shí)，則只有同時(shí)q為奇數，函數的值域為非零的實(shí)數。
而只有a為正數，0才進(jìn)入函數的值域。
由于x大于0是對a的任意取值都有意義的，
因此下面給出冪函數在第一象限的各自情況.
編輯本段
第一象限
可以看到：
(1)所有的圖形都通過(guò)（1,1）這點(diǎn).（a≠0） a>0時(shí) 圖象過(guò)點(diǎn)（0,0）和（1,1）
(2)當a大于0時(shí)，冪函數為單調遞增的，而a小于0時(shí)，冪函數為單調遞減函數。
(3)當a大于1時(shí)，冪函數圖形下凸；當a小于1大于0時(shí)，冪函數圖形上凸。
(4)當a小于0時(shí)，a越小，圖形傾斜程度越大。
(5)顯然冪函數無(wú)界限。
(6)a=2n，該函數為偶函數 {x|x≠0}。
(7) 0<a<1時(shí)，只在第一象限內有圖像，即x≥0.
編輯本段
圖象
冪函數的圖象：
2.高一數學(xué) 冪函數 性質(zhì) 歸納 100分
冪函數y=x^α重點(diǎn)是α=±1，±2，±3，±1/2.
1. α=0.
y=x^0.
圖象：過(guò)點(diǎn)（1,1），平行于x軸的直線(xiàn)一條（剔去點(diǎn)（0,1）).
定義域：（-∞，0）∪（0，+∞）.
值域：{1}.
奇偶性：偶函數
2. α∈Z+.
①α=1
y=x
圖象：過(guò)點(diǎn)（1,1），一、三象限的角平分線(xiàn)（包含原點(diǎn)（0,0）).
定義域：（-∞，+∞）.
值域：. （-∞，+∞）
單調性：增函數。
奇偶性：奇函數。
②α=2
y=x^2
圖象：過(guò)點(diǎn)（1,1），拋物線(xiàn).
定義域：（-∞，+∞）.
值域：. [0，+∞）
單調性：減區間（-∞，0]，增區間[0，+∞）
奇偶性：偶函數。
注：當α=2n, n∈N+時(shí)，冪函數y=x^α也具有上述性質(zhì)。
③α=3
y=x^3
圖象：過(guò)點(diǎn)（1,1），立方拋物線(xiàn).
定義域：（-∞，+∞）.
值域：. （-∞，+∞）
單調性：增函數。
奇偶性：奇函數。
注：當α=2n+1, n∈N+時(shí)，冪函數y=x^α也具有上述性質(zhì)。
3.α是負整數。
①α=-1
y=x^(-1).
圖象：過(guò)點(diǎn)（1,1），雙曲線(xiàn).
定義域：（-∞，0）∪（0，+∞）.
值域：. （-∞，0）∪（0，+∞）
單調性：減區間（-∞，0）和（0，+∞）。
奇偶性：奇函數。
②α=-2
y=x^(-2)。
圖象：過(guò)點(diǎn)（1,1），分布在一、二象限的擬雙曲線(xiàn).
定義域：（-∞，0）∪（0，+∞）.
值域：（0，+∞）
單調性：增區間（-∞，0），減區間（0，+∞）
奇偶性：偶函數。
注：當α=-2n, n∈N+時(shí)，冪函數y=x^α也具有上述性質(zhì)。
③α=-3
y=x^(-3)
圖象：過(guò)點(diǎn)（1,1），雙曲線(xiàn)型.
定義域：（-∞，0）∪（0，+∞）.
值域：（-∞，0）∪（0，+∞）
單調性：減區間（-∞，0）和（0，+∞）
奇偶性：奇函數。
注：當α=-2n+1, n∈N+時(shí)，冪函數y=x^α也具有上述性質(zhì)。
4.α是正分數。
①α=1/2.
y=x^(1/2)=√x.
圖象：過(guò)點(diǎn)（1,1），分布在一象限的拋物線(xiàn)弧（含原點(diǎn)）。
定義域：[0，+∞）.
值域：[ 0，+∞）.
單調性：增函數。
奇偶性：非奇非偶。
注：當α=（2n+1）/(2m), m,n∈N+時(shí)，冪函數y=x^α也具有上述性質(zhì)。
②α=1/3.
y=x^(1/3)
圖象：過(guò)點(diǎn)（1,1），與立方拋物線(xiàn)y=x^3關(guān)于直線(xiàn)y=x對稱(chēng)。.
定義域：（-∞，+∞）.
值域：. （-∞，+∞）.
單調性：增函數。
奇偶性：奇函數。
注：當α=（2n-1）/(2m+1), m,n∈N+時(shí)，冪函數y=x^α也具有上述性質(zhì)。
5.α是負分數。
①α=-1/2.
y=x^(-1/2)=1/√x.
圖象：過(guò)點(diǎn)（1,1），只分布在一象限的雙曲線(xiàn)弧。
定義域：（0，+∞）.
值域：（ 0，+∞）.
單調性：減函數。
奇偶性：非奇非偶。
注：當α=-（2n-1）/(2m), m,n∈N+時(shí)，冪函數y=x^α也具有上述性質(zhì)。
②α=-1/3.
y=x^(-1/3)=1/(3)√x.
圖象：過(guò)點(diǎn)（1,1），雙曲線(xiàn)型。
定義域：（-∞，0）∪（0，+∞）.
值域：（-∞，0）∪（0，+∞）.
單調性：減區間（-∞，0）和（0，+∞）。
奇偶性：奇函數。
注：當α=-（2n-1）/(2m+1), m,n∈N+時(shí)，冪函數y=x^α也具有上述性質(zhì)。
3.高中函數知識點(diǎn)
一、函數的概念與表示
1、映射
(1)映射：設A、B是兩個(gè)集合，如果按照某種映射法則f，對于集合A中的任一個(gè)元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應，則這樣的對應（包括集合A、B以及A到B的對應法則f）叫做集合A到集合B的映射，記作f:A→B。
注意點(diǎn)：（1）對映射定義的理解。（2）判斷一個(gè)對應是映射的方法。一對多不是映射，多對一是映射
2、函數
構成函數概念的三要素 ①定義域②對應法則③值域
兩個(gè)函數是同一個(gè)函數的條件：三要素有兩個(gè)相同
二、函數的解析式與定義域
1、求函數定義域的主要依據：
(1)分式的分母不為零；
(2)偶次方根的被開(kāi)方數不小于零，零取零次方?jīng)]有意義；
(3)對數函數的真數必須大于零；
(4)指數函數和對數函數的底數必須大于零且不等于1;
三、函數的值域
1求函數值域的方法
①直接法：從自變量x的范圍出發(fā)，推出y=f(x)的取值范圍，適合于簡(jiǎn)單的復合函數；
②換元法：利用換元法將函數轉化為二次函數求值域，適合根式內外皆為一次式；
③判別式法：運用方程思想，依據二次方程有根，求出y的取值范圍；適合分母為二次且 ∈R的分式；
④分離常數：適合分子分母皆為一次式（x有范圍限制時(shí)要畫(huà)圖）；
⑤單調性法：利用函數的單調性求值域；
⑥圖象法：二次函數必畫(huà)草圖求其值域；
⑦利用對號函數
⑧幾何意義法：由數形結合，轉化距離等求值域。主要是含絕對值函數
四.函數的奇偶性
1.定義： 設y=f(x),x∈A，如果對于任意 ∈A，都有 ，則稱(chēng)y=f(x)為偶函數。
如果對于任意 ∈A，都有 ，則稱(chēng)y=f(x)為奇
函數。
2.性質(zhì)：
①y=f(x)是偶函數 y=f(x)的圖象關(guān)于 軸對稱(chēng)， y=f(x)是奇函數 y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)，
②若函數f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)，則f(0)=0
③奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇*奇=偶 偶*偶=偶 奇*偶=奇[兩函數的定義域D1 ,D2,D1∩D2要關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng)]
3.奇偶性的判斷
①看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱(chēng) ②看f(x)與f(-x)的關(guān)系
五、函數的單調性
1、函數單調性的定義：
2 設 是定義在M上的函數，若f(x)與g(x)的單調性相反，則 在M上是減函數；若f(x)與g(x)的單調性相同，則 在M上是增函數。
4.高中數學(xué)函數部分詳細的知識點(diǎn)總結
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《函數》知識要點(diǎn)和基本方法
1.映射定義：設非空集合A,B，若對集合A中任一元素a，在集合B中有唯一元素b與之對應，則稱(chēng)從A到B的對應為映射。若集合A中有m個(gè)元素，集合B中有n個(gè)元素，則從A到B可建立nm個(gè)映射。
2.函數定義：函數就是定義在非空數集A,B上的映射f。此時(shí)稱(chēng)數集A為函數f(x)的定義域，集合C={f(x)|x∈A}為值域，且CB。
3.定義域、對應法則和值域構成了函數的三要素。
相同函數的判斷方法：①定義域、值域；②對應法則。（兩點(diǎn)必須同時(shí)具備）
4.求函數的定義域常涉及到的依據為：①分母不為0；②偶次根式中被開(kāi)方數不小于0；③對數的真數大于0，底數大于零且不等于1；④零指數冪的底數不等于零；⑤實(shí)際問(wèn)題要考慮實(shí)際意義；⑥正切函數角的終邊不在y軸上。
5.函數解析式的求法：①配湊法；②換元法：③待定系數法；④賦值法；⑤消元法等。
6.函數值域的求法：①配方法；②分離常數法；③逆求法；④換元法；⑤判別式法；⑥單調性法等。
7.函數單調性及證明方法：
如果對于定義域內某個(gè)區間上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2，當x1<x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)），那么就說(shuō)f(x)在這個(gè)區間上是增函數（或減函數）。
第一步：設x1、x2是給定區間內的兩個(gè)任意的值，且x1<x2；第二步：作差f(x2)-f(x1)，并對1120②從33例例【題型例6C13415(
