基礎拓撲學(xué)知識點(diǎn)(簡(jiǎn)介拓撲知識)
1.簡(jiǎn)介拓撲知識
拓撲學(xué)是數學(xué)中一個(gè)重要的、基礎的分支。
起初它是幾何學(xué)的一支，研究幾何圖形在連續變形下保持不變的性質(zhì)（所謂連續變形，形象地說(shuō)就是允許伸縮和扭曲等變形，但不許割斷和粘合）；現在已發(fā)展成為研究連續性現象的數學(xué)分支。由于連續性在數學(xué)中的表現方式與研究方法的多樣性，拓撲學(xué)又分成研究對象與方法各異的若干分支。
在拓撲學(xué)的孕育階段，19世紀末，就拓撲已出現點(diǎn)集拓撲學(xué)與組合拓撲學(xué)兩個(gè)方向。現在，前者演化為一般拓撲學(xué)，后者則成為代數拓撲學(xué)。
后來(lái)，又相繼出現了微分拓樸學(xué)、幾何拓撲學(xué)等分支。拓撲學(xué)的英文名是Topology，直譯是地志學(xué)，也就是和研究地形、地貌相類(lèi)似的有關(guān)學(xué)科。
我國早期曾經(jīng)翻譯成“形勢幾何學(xué)”、“連續幾何學(xué)”、“一對一的連續變換群下的幾何學(xué)”，但是，這幾種譯名都不大好理解，1956年統一的《數學(xué)名詞》把它確定為拓撲學(xué)，這是按音譯過(guò)來(lái)的。拓撲學(xué)是幾何學(xué)的一個(gè)分支，但是這種幾何學(xué)又和通常的平面幾何、立體幾何不同。
通常的平面幾何或立體幾何研究的對象是點(diǎn)、線(xiàn)、面之間的位置關(guān)系以及它們的度量性質(zhì)。拓撲學(xué)對于研究對象的長(cháng)短、大小、面積、體積等度量性質(zhì)和數量關(guān)系都無(wú)關(guān)。
2.簡(jiǎn)單介紹一下拓撲學(xué)
拓撲學(xué)是幾何學(xué)的一個(gè)分支，主要研究圖形在連續變換下不變的性質(zhì)。
可參看百科的“拓撲”或“拓撲學(xué)”條目。我下面引述的例子不多作解釋?zhuān)梢灾苯硬榈健?/p>
例如，Euler的七橋問(wèn)題就是一個(gè)拓撲學(xué)的問(wèn)題，因為把七橋連成路徑，不論橋和路如何連續的變化，都不影響問(wèn)題的結果，也就是說(shuō)，這個(gè)問(wèn)題研究的是一個(gè)連續變換下不變的性質(zhì)。
又如，四色定理（地圖可用四色著(zhù)色）是一個(gè)拓撲學(xué)的問(wèn)題，因為地圖中的區域大小和具體形狀在問(wèn)題中并不重要，都可以連續的變化，不改變地圖可以用四色著(zhù)色這一性質(zhì)。
所以，在拓撲學(xué)的觀(guān)點(diǎn)下，圓和三角形的性質(zhì)沒(méi)有什么區別，輪胎和戒指的性質(zhì)沒(méi)有什么區別，因為它們都可以通過(guò)連續變換互相得到。
另一方面，研究圖形面積的幾何就不是拓撲學(xué)，因為在連續變換下，面積可以變化。同樣的道理，圖形的大小、平行、對稱(chēng)、垂直等等都不是拓撲學(xué)的研究領(lǐng)域。
可以看到，拓撲學(xué)研究的性質(zhì)對圖形的要求很低（一定程度變了形都沒(méi)關(guān)系），所以它的應用范圍也就十分廣泛，因而成為現代數學(xué)的基礎之一。以至于許多看起來(lái)跟幾何圖形沒(méi)多大關(guān)系的地方，也可以應用拓撲學(xué)的知識。如分析學(xué)中就大量使用點(diǎn)集拓撲學(xué)的術(shù)語(yǔ)和手段。
拓撲學(xué)因研究的領(lǐng)域和方法的不同，有一些分支。如一般拓撲學(xué)，又稱(chēng)點(diǎn)集拓撲學(xué)，是研究一組抽象的“點(diǎn)”（可以是幾何上的，也可以不是）的拓撲性質(zhì)的；代數拓撲學(xué)，利用代數學(xué)的手段研究拓撲性質(zhì)，如同倫論和同調論；微分拓撲學(xué)，利用分析學(xué)的手段（主要是微分）研究拓撲性質(zhì)；幾何拓撲學(xué)，研究幾何意義明顯的東西（成為流形），如扭結；等等。
注：以上的敘述只是介紹，語(yǔ)言都是在數學(xué)上不嚴謹的。實(shí)際的拓撲學(xué)研究中，像連續、變換、點(diǎn)等概念，都是需要嚴格定義的。
3.簡(jiǎn)介拓撲知識
拓撲學(xué)是數學(xué)中一個(gè)重要的、基礎性的分支。它最初是幾何學(xué)的一個(gè)分支，主要研究幾何圖形在連續變形下保持不變的性質(zhì)，現在已成為研究連續性現象的重要的數學(xué)分支。
拓撲學(xué)起初叫形勢分析學(xué)，是萊布尼茨1679年提出的名詞。十九世紀中期，黎曼在復函數的研究中強調研究函數和積分就必須研究形勢分析學(xué)。從此開(kāi)始了現代拓撲學(xué)的系統研究。
連續性和離散性是自然界與社會(huì )現象中普遍存在的。拓撲學(xué)對連續性數學(xué)是帶有根本意義的，對于離散性數學(xué)也起著(zhù)巨大的推動(dòng)作用。拓撲學(xué)的基本內容已經(jīng)成為現代數學(xué)的常識。拓撲學(xué)的概念和方法在物理學(xué)、生物學(xué)、化學(xué)等學(xué)科中都有直接、廣泛的應用。
4.簡(jiǎn)單介紹一下拓撲學(xué)
拓撲學(xué)是幾何學(xué)的一個(gè)分支，主要研究圖形在連續變換下不變的性質(zhì)。
可參看百科的“拓撲”或“拓撲學(xué)”條目。我下面引述的例子不多作解釋?zhuān)梢灾苯硬榈健?/p>
例如，Euler的七橋問(wèn)題就是一個(gè)拓撲學(xué)的問(wèn)題，因為把七橋連成路徑，不論橋和路如何連續的變化，都不影響問(wèn)題的結果，也就是說(shuō)，這個(gè)問(wèn)題研究的是一個(gè)連續變換下不變的性質(zhì)。又如，四色定理（地圖可用四色著(zhù)色）是一個(gè)拓撲學(xué)的問(wèn)題，因為地圖中的區域大小和具體形狀在問(wèn)題中并不重要，都可以連續的變化，不改變地圖可以用四色著(zhù)色這一性質(zhì)。
所以，在拓撲學(xué)的觀(guān)點(diǎn)下，圓和三角形的性質(zhì)沒(méi)有什么區別，輪胎和戒指的性質(zhì)沒(méi)有什么區別，因為它們都可以通過(guò)連續變換互相得到。另一方面，研究圖形面積的幾何就不是拓撲學(xué)，因為在連續變換下，面積可以變化。
同樣的道理，圖形的大小、平行、對稱(chēng)、垂直等等都不是拓撲學(xué)的研究領(lǐng)域。可以看到，拓撲學(xué)研究的性質(zhì)對圖形的要求很低（一定程度變了形都沒(méi)關(guān)系），所以它的應用范圍也就十分廣泛，因而成為現代數學(xué)的基礎之一。
以至于許多看起來(lái)跟幾何圖形沒(méi)多大關(guān)系的地方，也可以應用拓撲學(xué)的知識。如分析學(xué)中就大量使用點(diǎn)集拓撲學(xué)的術(shù)語(yǔ)和手段。
拓撲學(xué)因研究的領(lǐng)域和方法的不同，有一些分支。如一般拓撲學(xué)，又稱(chēng)點(diǎn)集拓撲學(xué)，是研究一組抽象的“點(diǎn)”（可以是幾何上的，也可以不是）的拓撲性質(zhì)的；代數拓撲學(xué)，利用代數學(xué)的手段研究拓撲性質(zhì)，如同倫論和同調論；微分拓撲學(xué)，利用分析學(xué)的手段（主要是微分）研究拓撲性質(zhì)；幾何拓撲學(xué)，研究幾何意義明顯的東西（成為流形），如扭結；等等。
注：以上的敘述只是介紹，語(yǔ)言都是在數學(xué)上不嚴謹的。實(shí)際的拓撲學(xué)研究中，像連續、變換、點(diǎn)等概念，都是需要嚴格定義的。
5.什么是拓撲學(xué),它到底是一個(gè)什么知識領(lǐng)域,誰(shuí)能給概括一下
拓撲學(xué)拓撲學(xué)，是近代發(fā)展起來(lái)的一個(gè)研究連續性現象的數學(xué)分支。
中文名稱(chēng)起源于希臘語(yǔ)Τοπολογ的音譯。Topology原意為地貌，于19世紀中期由科學(xué)家引入，當時(shí)主要研究的是出于數學(xué)分析的需要而產(chǎn)生的一些幾何問(wèn)題。
發(fā)展至今，拓撲學(xué)主要研究拓撲空間在拓撲變換下的不變性質(zhì)和不變量。 拓撲學(xué)是數學(xué)中一個(gè)重要的、基礎的分支。
起初它是幾何學(xué)的一支，研究幾何圖形在連續變形下保持不變的性質(zhì)（所謂連續變形，形象地說(shuō)就是允許伸縮和扭曲等變形，但不許割斷和粘合）；現在已發(fā)展成為研究連續性現象的數學(xué)分支。學(xué)科方向 由于連續性在數學(xué)中的表現方式與研究方法的多樣性，拓撲學(xué)又分成研究對象與方法各異的若干分支。
19世紀末，在拓撲學(xué)的孕育階段，就已出現點(diǎn)集拓撲學(xué)與組合拓撲學(xué)兩個(gè)方向。現在，前者演化為一般拓撲學(xué)，后者則成為代數拓撲學(xué)。
后來(lái)，又相繼出現了微分拓樸學(xué)、幾何拓撲學(xué)等分支。 拓撲學(xué)也是數學(xué)的一個(gè)分支，研究幾何圖形在連續改變形狀時(shí)還能保持不變的一些特性，它只考慮物體間的位置關(guān)系而不考慮它們的距離和大小。
[英topology] 舉例來(lái)說(shuō)，在通常的平面幾何里，把平面上的一個(gè)圖形搬到另一個(gè)圖形上，如果完全重合，那么這兩個(gè)圖形叫做全等形。但是，在拓撲學(xué)里所研究的圖形，在運動(dòng)中無(wú)論它的大小或者形狀都發(fā)生變化。
在拓撲學(xué)里沒(méi)有不能彎曲的元素，每一個(gè)圖形的大小、形狀都可以改變。例如，下面將要講的歐拉在解決哥尼斯堡七橋問(wèn)題的時(shí)候，他畫(huà)的圖形就不考慮它的大小、形狀，僅考慮點(diǎn)和線(xiàn)的個(gè)數。
這些就是拓撲學(xué)思考問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)。 簡(jiǎn)單地說(shuō)，拓撲就是研究有形的物體在連續變換下，怎樣還能保持性質(zhì)不變。
編輯本段拓撲學(xué)的由來(lái) 幾何拓撲學(xué)是十九世紀形成的一門(mén)數學(xué)分支，它屬于幾何學(xué)的范疇。有關(guān)拓撲學(xué)的一些內容早在十八世紀就出現了。
那時(shí)候發(fā)現一些孤立的問(wèn)題，后來(lái)在拓撲學(xué)的形成中占著(zhù)重要的地位。 在數學(xué)上，關(guān)于哥尼斯堡七橋問(wèn)題、多面體的歐拉定理、四色問(wèn)題等都是拓撲學(xué)發(fā)展史的重要問(wèn)題。
哥尼斯堡七橋問(wèn)題哥尼斯堡（今俄羅斯加里寧格勒）是東普魯士的首都，普萊格爾河橫貫其中。十八世紀在這條河上建有七座橋，將河中間的兩個(gè)島和河岸聯(lián)結起來(lái)。
人們閑暇時(shí)經(jīng)常在這上邊散步，一天有人提出：能不能每座橋都只走一遍，最后又回到原來(lái)的位置。這個(gè)看起來(lái)很簡(jiǎn)單又很有趣的問(wèn)題吸引了大家，很多人在嘗試各種各樣的走法，但誰(shuí)也沒(méi)有做到。
看來(lái)要得到一個(gè)明確、理想的答案還不那么容易。 1736年，有人帶著(zhù)這個(gè)問(wèn)題找到了當時(shí)的大數學(xué)家歐拉，歐拉經(jīng)過(guò)一番思考，很快就用一種獨特的方法給出了解答。
歐拉把這個(gè)問(wèn)題首先簡(jiǎn)化，他把兩座小島和河的兩岸分別看作四個(gè)點(diǎn)，而把七座橋看作這四個(gè)點(diǎn)之間的連線(xiàn)。那么這個(gè)問(wèn)題就簡(jiǎn)化成，能不能用一筆就把這個(gè)圖形畫(huà)出來(lái)。
經(jīng)過(guò)進(jìn)一步的分析，歐拉得出結論——不可能每座橋都走一遍，最后回到原來(lái)的位置。并且給出了所有能夠一筆畫(huà)出來(lái)的圖形所應具有的條件。
這是拓撲學(xué)的“先聲”。 在拓撲學(xué)的發(fā)展歷史中，還有一個(gè)著(zhù)名而且重要的關(guān)于多面體的定理也和歐拉有關(guān)。
這個(gè)定理內容是：如果一個(gè)凸多面體的頂點(diǎn)數是v、棱數是e、面數是f，那么它們總有這樣的關(guān)系：f+v-e=2。 根據多面體的歐拉定理，可以得出這樣一個(gè)有趣的事實(shí)：只存在五種正多面體。
它們是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。 著(zhù)名的“四色問(wèn)題”也是與拓撲學(xué)發(fā)展有關(guān)的問(wèn)題。
四色問(wèn)題又稱(chēng)四色猜想，是世界近代三大數學(xué)難題之一。中國曾邦哲于20世紀80-90年代（結構論）將其命題轉換為“四色定理”等價(jià)于“互鄰面最大的多面體是四面體”的問(wèn)題。
拓撲學(xué)四色猜想的提出來(lái)自于英國。1852年，畢業(yè)于倫敦大學(xué)的弗南西斯.格思里來(lái)到一家科研單位搞地圖著(zhù)色工作時(shí)，發(fā)現了一種有趣的現象：“看來(lái)，每幅地圖都可以用四種顏色著(zhù)色，使得有共同邊界的國家都被著(zhù)上不同的顏色。”
1872年，英國當時(shí)最著(zhù)名的數學(xué)家凱利正式向倫敦數學(xué)學(xué)會(huì )提出了這個(gè)問(wèn)題，于是四色猜想成了世界數學(xué)界關(guān)注的問(wèn)題。世界上許多一流的數學(xué)家都紛紛參加了四色猜想的大會(huì )戰。
1878~1880年兩年間，著(zhù)名律師兼數學(xué)家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣布證明了四色定理。但后來(lái)數學(xué)家赫伍德以自己的精確計算指出肯普的證明是錯誤的。
不久，泰勒的證明也被人們否定了。于是，人們開(kāi)始認識到，這個(gè)貌似容易的題目，其實(shí)是一個(gè)可與費馬猜想相媲美的難題。
進(jìn)入20世紀以來(lái)，科學(xué)家們對四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進(jìn)行。電子計算機問(wèn)世以后，由于演算速度迅速提高，加之人機對話(huà)的出現，大大加快了對四色猜想證明的進(jìn)程。
1976年，美國數學(xué)家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學(xué)的兩臺不同的電子計算機上，用了1200個(gè)小時(shí)，作了100億判斷，終于完成了四色定理的證明。不過(guò)不少數學(xué)家并不滿(mǎn)足于計算機取。
