多面體歐拉定理的內容是什么，怎么推導出來(lái)的？
歐拉公式簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數V、面數F及棱數E間有關(guān)系V+F-E=2這個(gè)公式叫歐拉公式。公式描述了簡(jiǎn)單多面體頂點(diǎn)數、面數、棱數特有的規律。歐拉定理的意義（1）數學(xué)規律：公式描述了簡(jiǎn)單多面體中頂點(diǎn)數、面數、棱數之間特有的規律（2）思想方法創(chuàng )新：定理發(fā)現證明過(guò)程中，觀(guān)念上，假設它的表面是橡皮薄膜制成的，可隨意拉伸；方法上將底面剪掉，化為平面圖形（立體圖→平面拉開(kāi)圖）。（3）引入拓撲學(xué)：從立體圖到拉開(kāi)圖，各面的形狀、長(cháng)度、距離、面積等與度量有關(guān)的量發(fā)生了變化，而頂點(diǎn)數，面數，棱數等不變。定理引導我們進(jìn)入一個(gè)新幾何學(xué)領(lǐng)域：拓撲學(xué)。我們用一種可隨意變形但不得撕破或粘連的材料（如橡皮波）做成的圖形，拓撲學(xué)就是研究圖形在這種變形過(guò)程中的不變的性質(zhì)。（4）提出多面體分類(lèi)方法：在歐拉公式中， f (p)=V+F-E 叫做歐拉示性數。歐拉定理告訴我們，簡(jiǎn)單多面體f (p)=2。除簡(jiǎn)單多面體外，還有非簡(jiǎn)單多面體。例如，將長(cháng)方體挖去一個(gè)洞，連結底面相應頂點(diǎn)得到的多面體。它的表面不能經(jīng)過(guò)連續變形變?yōu)橐粋€(gè)球面，而能變?yōu)橐粋€(gè)環(huán)面。其歐拉示性數f (p)=16+16-32=0，即帶一個(gè)洞的多面體的歐拉示性數為0。歐拉定理的證明方法1：（利用幾何畫(huà)板）逐步減少多面體的棱數，分析V+F-E先以簡(jiǎn)單的四面體ABCD為例分析證法。去掉一個(gè)面，使它變?yōu)槠矫鎴D形，四面體頂點(diǎn)數V、棱數V與剩下的面數F1變形后都沒(méi)有變。因此，要研究V、E和F關(guān)系，只需去掉一個(gè)面變?yōu)槠矫鎴D形，證V+F1-E=1（1）去掉一條棱，就減少一個(gè)面，V+F1-E不變。依次去掉所有的面，變?yōu)椤皹?shù)枝形”。（2）從剩下的樹(shù)枝形中，每去掉一條棱，就減少一個(gè)頂點(diǎn)，V+F1-E不變，直至只剩下一條棱。以上過(guò)程V+F1-E不變，V+F1-E=1，所以加上去掉的一個(gè)面，V+F-E =2。 對任意的簡(jiǎn)單多面體，運用這樣的方法，都是只剩下一條線(xiàn)段。因此公式對任意簡(jiǎn)單多面體都是正確的。 方法2：計算多面體各面內角和設多面體頂點(diǎn)數V，面數F，棱數E。剪掉一個(gè)面，使它變?yōu)槠矫鎴D形（拉開(kāi)圖）,求所有面內角總和Σα一方面，在原圖中利用各面求內角總和。 設有F個(gè)面，各面的邊數為n1,n2，…，nF，各面內角總和為：Σα = [(n1-2)?1800+(n2-2)?1800 +…+(nF-2) ?1800]=(n1+n2+…+nF -2F) ?1800=(2E-2F) ?1800 = (E-F) ?3600 （1）另一方面，在拉開(kāi)圖中利用頂點(diǎn)求內角總和。設剪去的一個(gè)面為n邊形，其內角和為(n-2)?1800，則所有V個(gè)頂點(diǎn)中，有n個(gè)頂點(diǎn)在邊上，V-n個(gè)頂點(diǎn)在中間。中間V-n個(gè)頂點(diǎn)處的內角和為(V-n)?3600，邊上的n個(gè)頂點(diǎn)處的內角和(n-2)?1800。所以，多面體各面的內角總和：Σα=(V-n)?3600+(n-2)?1800+(n-2)?1800 =（V-2）?3600. （2）由(1)(2)得： (E-F) ?3600 =（V-2）?3600 所以 V+F-E=2. 歐拉定理的運用方法（1）分式： a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b) 當r=0,1時(shí)式子的值為0 當r=2時(shí)值為1 當r=3時(shí)值為a+b+c （2）復數 由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到： sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2（3）三角形 設R為三角形外接圓半徑，r為內切圓半徑，d為外心到內心的距離，則： d＾2=R＾2-2Rr （4）多面體 設v為頂點(diǎn)數，e為棱數，f是面數，則 v-e+f=2-2pp為歐拉示性數，例如 p=0 的多面體叫第零類(lèi)多面體 p=1 的多面體叫第一類(lèi)多面體 (5) 多邊形設一個(gè)二維幾何圖形的頂點(diǎn)數為V，劃分區域數為Ar，一筆畫(huà)筆數為B,則有：V+Ar-B=1(如：矩形加上兩條對角線(xiàn)所組成的圖形，V=5,Ar=4,B=8)(6) 歐拉定理在同一個(gè)三角形中，它的外心Circumcenter、重心Gravity、九點(diǎn)圓圓心Nine-point-center、垂心Orthocenter共線(xiàn)。其實(shí)歐拉公式是有很多的，上面僅是幾個(gè)常用的。使用歐拉定理計算足球五邊形和六邊形數問(wèn)：足球表面由五邊型和六邊型的皮革拼成，計算一共有多少個(gè)這樣的五邊型和六邊型？答：足球是多面體，滿(mǎn)足歐拉公式F－E＋V＝2，其中F,E,V分別表示面,棱,頂點(diǎn)的個(gè)數設足球表面正五邊形(黑皮子)和正六邊形(白皮子)的面各有x個(gè)和y個(gè)，那么面數F＝x＋y棱數E＝(5x+6y)/2（每條棱由一塊黑皮子和一塊白皮子共用）頂點(diǎn)數V＝(5x+6y)/3（每個(gè)頂點(diǎn)由三塊皮子共用）由歐拉公式，x＋y－(5x+6y)/2＋(5x+6y)/3＝2，解得x＝12所以共有12塊黑皮子所以，黑皮子一共有12×5＝60條棱，這60條棱都是與白皮子縫合在一起的對于白皮子來(lái)說(shuō)：每塊白色皮子的6條邊中，有3條邊與黑色皮子的邊縫在一起，另3條邊則與其它白色皮子的邊縫在一起，所以白皮子所有邊的一半是與黑皮子縫合在一起的那么白皮子就應該一共有60×2＝120條邊，120÷6＝20所以共有20塊白皮子 經(jīng)濟學(xué)中的“歐拉定理”在西方經(jīng)濟學(xué)里，產(chǎn)量和生產(chǎn)要素L、K的關(guān)系表述為Q＝Q(L，K)，如果具體的函數形式是一次齊次的，那么就有：Q＝L(eQ/eL)＋K(eQ/eK)，換句話(huà)說(shuō)，產(chǎn)品分配凈盡取決于Q能否表示為一個(gè)一次齊次函數形式。 因為eQ/eL＝MPL＝w/P被視為勞動(dòng)對產(chǎn)量的貢獻，eQ/eK＝MPK＝r/P被視為資本對產(chǎn)量的貢獻，因此，此式被解釋為“產(chǎn)品分配凈盡定理”，也就是所有產(chǎn)品都被所有的要素恰好分配完而沒(méi)有剩余。因為形式上符合數學(xué)歐拉定理，所以稱(chēng)為歐拉定理。【同余理論中的歐拉定理】設a,m∈N,(a,m)=1,則a^(f(m))≡1(mod m)(注:f(m)指模m的簡(jiǎn)系個(gè)數)歐拉公式在數學(xué)歷史上有很多公式都是歐拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年)發(fā)現的，它們都叫做歐拉公式，它們分散在各個(gè)數學(xué)分支之中。 1、復變函數論里的歐拉公式：e^ix=cosx+isinx，e是自然對數的底，i是虛數單位。它將三角函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數和指數函數的關(guān)系，它在復變函數論里占有非常重要的地位。將公式里的x換成-x，得到：e^-ix=cosx-isinx，然后采用兩式相加減的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.這兩個(gè)也叫做歐拉公式。將e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：e^i∏+1=0.這個(gè)恒等式也叫做歐拉公式，它是數學(xué)里最令人著(zhù)迷的一個(gè)公式，它將數學(xué)里最重要的幾個(gè)數學(xué)聯(lián)系到了一起：兩個(gè)超越數：自然對數的底e，圓周率∏，兩個(gè)單位：虛數單位i和自然數的單位1，以及數學(xué)里常見(jiàn)的0。數學(xué)家們評價(jià)它是“上帝創(chuàng )造的公式”，我們只能看它而不能理解它。2、拓撲學(xué)里的歐拉公式：V+F-E=X(P)，V是多面體P的頂點(diǎn)個(gè)數，F是多面體P的面數，E是多面體P的棱的條數,X(P)是多面體P的歐拉示性數。如果P可以同胚于一個(gè)球面（可以通俗地理解為能吹脹成一個(gè)球面），那么X(P)=2，如果P同胚于一個(gè)接有h個(gè)環(huán)柄的球面，那么X(P)=2-2h。X(P)叫做P的拓撲不變量，是拓撲學(xué)研究的范圍。3、初等數論里的歐拉公式：歐拉φ函數：φ(n)是所有小于n的正整數里，和n互素的整數的個(gè)數。n是一個(gè)正整數。歐拉證明了下面這個(gè)式子：如果n的標準素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm*am，其中眾pj(j=1,2,……,m)都是素數，而且兩兩不等。則有φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)利用容斥原理可以證明它。
