sin和cos的歐拉公式？

正弦函數的歐拉公式為：sinx=(e^(ix)-e^(-ix))/(2i)，余弦函數的歐拉公式為：cosx=(e^(ix)+e^(-ix))/2. 需要注意的是，雖然我們可以檢驗(sinx)^2+(cosx)^2=1，但卻不能用這種檢驗法來(lái)證明這兩個(gè)公式。否則就有可能會(huì )推出其它錯誤的結論。那這兩個(gè)公式到底是怎么來(lái)的呢？

如果用逆向思維反推的話(huà)，我們可以由正弦函數的歐拉公式得到e^(ix)-e^(-ix)=2isinx；由余弦函數的歐拉公式得到e^(ix)+e^(-ix)=2cosx. 把它們看作是關(guān)于e^(ix)和e^(-ix)的二元一次方程組，兩式相加可以得到e^(ix)=cosx+isinx；兩式相減則得到e^(-ix)=cosx-isinx. 事實(shí)上，記f(x)=e^(ix)=cosx+isinx，那么就有f(-x)=e^(-ix)=cosx-isinx，也就是說(shuō)，它們是同一個(gè)公式的兩種形態(tài)。

檢驗e^(ix)=cosx+isinx需要運用到e^x，cosx和sinx三者省略余項的麥克勞林公式。

e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!;

cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+……+(-1)^mx^(2m)/(2m)!, (n=2m);

sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+……+(-1)^mx^(2m+1)/(2m+1)!, (n=2m+1).

用ix替換e^x的省略余項的麥克勞林公式中的x，就可以得到：

e^(ix)=1+ix-x^2/2!-ix^3/3!+x^4/4!+ix^5/5!-x^6/6!-ix^7/7!+……+(-1)^mx^(2m)/(2m)!+i(-1)^mx^(2m+1)/(2m+1)!

=(1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+……+(-1)^mx^(2m)/(2m)!)+i(x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+……+(-1)^mx^(2m+1)/(2m+1)!)

=cosx+isinx.

這就證明了sin和cos的歐拉公式成立。

然而歐拉在推導公式時(shí)，卻是反過(guò)來(lái)的。他是先由e^x，cosx和sinx三者省略余項的麥克勞林公式，將e^x的x替換成±ix，推出e^(ix)=cosx+isinx和e^(-ix)=cosx-isinx。再把兩者看作關(guān)于sinx和cosx的二元一次方程組，從而得到sinx=(e^(ix)-e^(-ix))/(2i)和cosx=(e^(ix)+e^(-ix))/2的。

另外，對x取π，代入e^(ix)=cosx+isinx得到e^(πi)+1=0，即e^(πi)=-1，它被譽(yù)為“上帝創(chuàng )造的公式”。

歐拉公式還有許多拓展，這里無(wú)法一一盡述，但是它的奇妙之處吸引了無(wú)數數學(xué)家對其進(jìn)行研究，有興趣我們也可以繼續探究下去。