銳角三角函數都有什么？
1、銳角三角函數定義 銳角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan或tg）,余切（cot或ctg）以及正割（sec），余割（csc）都叫做角A的銳角三角函數。
正弦等于對邊比斜邊，
正切等于對邊比鄰邊；
正割與余弦互為倒數，
余割與正弦互為倒數。 [編輯本段]2、互余角的三角函數間的關(guān)系。 sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,
tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα. [編輯本段]3、同角三角函數間的關(guān)系 平方關(guān)系：
sin^2(α)+cos^2(α)=1
tan^2(α)+1=sec^2(α)
cot^2(α)+1=csc^2(α)
·積的關(guān)系：
sinα=tanα·cosα
cosα=cotα·sinα
tanα=sinα·secα
cotα=cosα·cscα
secα=tanα·cscα
cscα=secα·cotα
·倒數關(guān)系：
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
直角三角形ABC中,
角A的正弦值就等于角A的對邊比斜邊,
余弦等于角A的鄰邊比斜邊
正切等于對邊比鄰邊, [編輯本段]4、三角函數值 （1）特殊角三角函數值
（2）0°～90°的任意角的三角函數值，查三角函數表。
（3）銳角三角函數值的變化情況
（i）銳角三角函數值都是正值
（ii）當角度在0°～90°間變化時(shí)，
正弦值隨著(zhù)角度的增大（或減小）而增大（或減小）
余弦值隨著(zhù)角度的增大（或減小）而減小（或增大）
正切值隨著(zhù)角度的增大（或減小）而增大（或減小）
余切值隨著(zhù)角度的增大（或減小）而減小（或增大）
（iii）當角度在0°≤α≤90°間變化時(shí)，
0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,
當角度在0°<α<90°間變化時(shí)，
tanα>0, cotα>0.
“銳角三角函數”屬于三角學(xué)，是《數學(xué)課程標準》中“空間與圖形”領(lǐng)域的重要內容。從《數學(xué)課程標準》看，中學(xué)數學(xué)把三角學(xué)內容分成兩個(gè)部分，第一部分放在義務(wù)教育第三學(xué)段，第二部分放在高中階段。在義務(wù)教育第三學(xué)段，主要研究銳角三角函數和解直角三角形的內容，本套教科書(shū)安排了一章的內容，就是本章“銳角三角函數”。在高中階段的三角內容是三角學(xué)的主體部分，包括解斜三角形、三角函數、反三角函數和簡(jiǎn)單的三角方程。無(wú)論是從內容上看，還是從思考問(wèn)題的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基礎，掌握銳角三角函數的概念和解直角三角形的方法，是學(xué)習三角函數和解斜三角形的重要準備。
本章包括銳角三角函數的概念（主要是正弦、余弦和正切的概念），以及利用銳角三角函數解直角三角形等內容。銳角三角函數為解直角三角形提供了有效的工具，解直角三角形在實(shí)際當中有著(zhù)廣泛的應用，這也為銳角三角函數提供了與實(shí)際聯(lián)系的機會(huì )。研究銳角三角函數的直接基礎是相似三角形的一些結論，解直角三角形主要依賴(lài)銳角三角函數和勾股定理等內容，因此相似三角形和勾股定理等是學(xué)習本章的直接基礎。本章重點(diǎn)是銳角三角函數的概念和直角三角形的解法。銳角三角函數的概念既是本章的難點(diǎn)，也是學(xué)習本章的關(guān)鍵。難點(diǎn)在于，銳角三角函數的概念反映了角度與數值之間對應的函數關(guān)系，這種角與數之間的對應關(guān)系，以及用含有幾個(gè)字母的符號sinA、cosA、tanA表示函數等，學(xué)生過(guò)去沒(méi)有接觸過(guò)，因此對學(xué)生來(lái)講有一定的難度。至于關(guān)鍵，因為只有正確掌握了銳角三角函數的概念，才能真正理解直角三角形中邊、角之間的關(guān)系，從而才能利用這些關(guān)系解直角三角形。
本章內容與已學(xué) “相似三角形”“勾股定理”等內容聯(lián)系緊密，并為高中數學(xué)中三角函數等知識的學(xué)習作好準備。
一、教科書(shū)內容與課程學(xué)習目標
（一）本章知識結構框圖
本章知識的展開(kāi)順序
（二）教科書(shū)內容
本章內容分為兩節，第一節主要學(xué)習正弦、余弦和正切等銳角三角函數的概念，第二節主要研究直角三角形中的邊角關(guān)系和解直角三角形的內容。第一節內容是第二節的基礎，第二節是第一節的應用，并對第一節的學(xué)習有鞏固和提高的作用。
在第28.1節 “銳角三角函數”中，教科書(shū)先研究了正弦函數，然后在正弦函數的基礎上給出余弦函數和正切函數的概念。對于正弦函數，教科書(shū)首先設置了一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，把這個(gè)實(shí)際問(wèn)題抽象成數學(xué)問(wèn)題，就是在直角三角形中，已知一個(gè)銳角和這個(gè)銳角的對邊求斜邊的問(wèn)題，由于這個(gè)銳角是一個(gè)特殊的角，因此可以利用“在直角三角形中，角所對的邊是斜邊的一半” 這個(gè)結論來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，接下去教科書(shū)又提出問(wèn)題，如果角所對的邊的長(cháng)度發(fā)生改變，那么斜邊的長(cháng)變?yōu)槎嗌伲拷鉀Q這個(gè)的問(wèn)題仍然需要利用上述結論，這樣就能夠使學(xué)生體會(huì )到“無(wú)論直角三角形的大小如何，角所對的邊與斜邊的比總是一個(gè)常數”，這里體現了函數的對應的思想，即的角對應數值。接下去，教科書(shū)又設置一個(gè)“思考”欄目，讓學(xué)生進(jìn)一步探討在直角三角形中，的銳角所對的邊與斜邊的比有什么特點(diǎn)，利用勾股定理就可以發(fā)現這個(gè)比值也是一個(gè)常數，這樣就使學(xué)生認識到“無(wú)論直角三角形的大小如何，角所對的邊與斜邊的比總是一個(gè)常數”，通過(guò)探討上面這兩個(gè)特殊的直角三角形，能夠使學(xué)生感受到在直角三角形中，如果一個(gè)銳角的度數分別是和，那么它們所對的邊與斜邊的比分別都是常數，這里體現了函數的思想，這也為引出正弦函數的概念作好鋪墊。有了上面這樣的感受，會(huì )使學(xué)生自然地想到，在直角三角形中，一個(gè)銳角取其他一定的度數時(shí)，它的對邊與斜邊的比是否也是常數的問(wèn)題。這樣教科書(shū)就進(jìn)入對一般情況的討論。對于這個(gè)問(wèn)題，教科書(shū)設置了一個(gè)“探究”欄目，讓學(xué)生探究對于兩個(gè)大小不等的直角三角形，如果有一個(gè)銳角對應相等，那么這兩個(gè)相等的銳角所對的直角邊與斜邊的比是否相等，利用相似三角形對應邊成比例這個(gè)結論就可以得到“在直角三角形中，當銳角的度數一定時(shí)，不管三角形的大小如何，這個(gè)角的對邊與斜邊的比是一個(gè)固定值”，由此引出正弦函數的概念，這樣引出正弦函數的概念，能夠使學(xué)生充分感受到函數的思想，即在直角三角形中，一個(gè)銳角的每一個(gè)確定的值，sinA都有唯一確定的值與它對應。在引出正弦函數的概念之后，教科書(shū)在一個(gè)“探究”欄目中，類(lèi)比著(zhù)正弦的概念，從邊與邊的比的角度提出一個(gè)開(kāi)放性問(wèn)題：在直角三角形中，當一個(gè)銳角確定時(shí)，這個(gè)角的對邊與斜邊的比就隨之確定，此時(shí)，其他邊之間的比是否也確定了呢？提出這個(gè)問(wèn)題的目的是要引出對余弦函數和正切函數的討論。由于教科書(shū)比較詳細地討論了正弦函數的概念，因此對余弦函數和正切函數概念的討論采用了直接給出的方式，具體的討論由學(xué)生類(lèi)比著(zhù)正弦函數自己完成。在余弦函數和正切函數的概念給出之后，教科書(shū)在邊注中分析了銳角三角函數的角與數值之間的對應關(guān)系，突出了函數的思想。一些特殊角的三角函數值是經(jīng)常用到的，教科書(shū)借助于學(xué)生熟悉的兩種三角尺研究了角的正弦、余弦和正切值，并以例題的形式介紹了已知銳角三角函數值求銳角的問(wèn)題，當然這時(shí)所要求出的角都是、和的特殊角。教科書(shū)把求特殊角的三角函數值和已知特殊角的三角函數值求角這兩個(gè)相反方向的問(wèn)題安排在一起，目的是體現銳角三角函數中角與函數值之間的對應關(guān)系。本節最后，教科書(shū)介紹了如何使用計算器求非特殊角的三角函數值以及如何根據三角函數值求對應的角等內容。由于不同的計算器操作步驟有所不同，教科書(shū)只就常見(jiàn)的情況進(jìn)行介紹。
第28.2節“解直角三角形”是在第一節“銳角三角函數”的基礎上研究解直角三角形的方法及其在實(shí)際中的應用。本節開(kāi)始，教科書(shū)設計了一個(gè)實(shí)際背景，其中包括兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題，這兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題抽象成數學(xué)問(wèn)題分別是已知直角三角形的一個(gè)銳角和斜邊，求這個(gè)角的對邊和已知直角三角形的一條直角邊和斜邊，求這兩個(gè)邊的夾角的問(wèn)題，解決這兩個(gè)問(wèn)題需要用到第28.1節學(xué)習的有關(guān)正弦函數和余弦函數的內容。這兩個(gè)問(wèn)題實(shí)際上屬于求解直角三角形的問(wèn)題，設計這個(gè)實(shí)際問(wèn)題的目的是要引出解直角三角形的內容。因此，教科書(shū)借助于這個(gè)實(shí)際問(wèn)題背景，設計了一個(gè)“探究”欄目，要求學(xué)生探討在直角三角形中，根據兩個(gè)已知條件（其中至少有一個(gè)是邊）求解直角三角形，最后教科書(shū)歸納給出求解直角三角形常用的反映三邊關(guān)系的勾股定理，反映銳角之間關(guān)系的互余關(guān)系，以及反映邊角之間關(guān)系的銳角三角函數關(guān)系。這樣，教科書(shū)就結合實(shí)際問(wèn)題背景，探討了解直角三角形的內容。接下去，教科書(shū)又結合四個(gè)實(shí)際問(wèn)題介紹了解直角三角形的理論在實(shí)際中的應用。第一個(gè)實(shí)際問(wèn)題是章前引言中提到的確定比薩斜塔傾斜程度的問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題實(shí)際上是已知直角三角形的斜邊和一個(gè)銳角的對邊，求這個(gè)銳角的問(wèn)題，這要用到正弦函數；第二個(gè)問(wèn)題是確定神舟5號變軌后，所能看到地面的最長(cháng)距離，這個(gè)問(wèn)題實(shí)際上是已知直角三角形的斜邊和一個(gè)銳角的鄰邊，求這個(gè)銳角的問(wèn)題，這要用到余弦函數；第三個(gè)問(wèn)題是確定樓房高度的問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題抽象成數學(xué)問(wèn)題是已知直角三角形的一個(gè)銳角和它的鄰邊，求這個(gè)角的對邊，這要用到正切函數；第四個(gè)實(shí)際問(wèn)題是在航海中確定輪船距離燈塔的距離，解決這個(gè)問(wèn)題需要反復利用正弦函數。這樣教科書(shū)就通過(guò)四個(gè)實(shí)際問(wèn)題體現了正弦、余弦和正切這幾個(gè)銳角三角函數在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用。本節最后，教科書(shū)采用將測量大壩的高度與測量山的高度相對比的方式，直觀(guān)形象地介紹了“化整為零，積零為整”“化曲為直，以直代曲”的微積分的基本思想。
（三）課程學(xué)習目標
對于本章內容，教學(xué)中應達到以下幾方面要求：
1. 了解銳角三角函數的概念，能夠正確應用sinA 、cos A、tanA表示直角三角形中兩邊的比；記憶的正弦、余弦和正切的函數值，并會(huì )由一個(gè)特殊角的三角函數值說(shuō)出這個(gè)角；
2. 能夠正確地使用計算器，由已知銳角求出它的三角函數值，由已知三角函數值求出相應的銳角；
3. 理解直角三角形中邊與邊的關(guān)系，角與角的關(guān)系和邊與角的關(guān)系，會(huì )運用勾股定理、直角三角形的兩個(gè)銳角互余、以及銳角三角函數解直角三角形，并會(huì )用解直角三角形的有關(guān)知識解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；
4. 通過(guò)銳角三角函數的學(xué)習，進(jìn)一步認識函數，體會(huì )函數的變化與對應的思想，通過(guò)解直角三角的學(xué)習，體會(huì )數學(xué)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用，并結合實(shí)際問(wèn)題對微積分的思想有所感受。
二、本章編寫(xiě)特點(diǎn)
（一）加強與實(shí)際的聯(lián)系
本章主要包括銳角三角函數和解直角三角形兩大塊內容，這兩大塊內容是緊密聯(lián)系的。銳角三角函數是解直角三角形的基礎，解直角三角形的理論又為解決一些實(shí)際問(wèn)題提供了強硬有力的工具，解直角三角形為銳角三角函數提供了與實(shí)際緊密聯(lián)系的沃土。因此本章編寫(xiě)時(shí)，加強了銳角三角函數與解直角三角形兩大塊內容與實(shí)際的聯(lián)系。例如，在章前引言中利用確定山坡上所鋪設的水管的長(cháng)度問(wèn)題引出正弦函數；結合使用梯子攀登墻面問(wèn)題引出解直角三角形的概念和方法等。再有，教科書(shū)利用背景豐富有趣的四個(gè)實(shí)際問(wèn)題，從不同的角度展示了解直角三角形在實(shí)際中的廣泛應用。教科書(shū)這樣將銳角三角函數和解直角三角形的內容與實(shí)際問(wèn)題緊密聯(lián)系，形成“你中有我，我中有你”的格局，一方面可以讓學(xué)生體會(huì )銳角三角函數和解直角三角形的理論來(lái)源于實(shí)際，是實(shí)際的需要，另一方面也讓學(xué)生看到它們在解決實(shí)際問(wèn)題中所起的作用，感受由實(shí)際問(wèn)題抽象出數學(xué)問(wèn)題，通過(guò)解決數學(xué)問(wèn)題得到數學(xué)問(wèn)題的答案，再將數學(xué)問(wèn)題的答案回到實(shí)際問(wèn)題的這種實(shí)踐----理論----實(shí)踐的認識過(guò)程，這個(gè)認識過(guò)程符合人的認知規律，有利于調動(dòng)學(xué)生學(xué)習數學(xué)的積極性，豐富有趣的實(shí)際問(wèn)題也能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣。
（二）加大學(xué)生的思維空間，發(fā)展學(xué)生的思維能力
本章編寫(xiě)時(shí)一方面繼續保持原有的通過(guò)設置“觀(guān)察”“思考”“討論”“探究”“歸納”等欄目來(lái)擴大學(xué)生探索交流的空間，發(fā)展學(xué)生的思維能力，同時(shí)結合本章內容的特點(diǎn)，又考慮到學(xué)生的年齡特征（學(xué)習本章內容的學(xué)生已經(jīng)是九年級），對于本章的一些結論，教科書(shū)采用了先設置一些探究性活動(dòng)欄目，然后直接給出結論的做法，而將數學(xué)結論的探索過(guò)程完全留給學(xué)生，不像前兩個(gè)年級那樣，將這些探究過(guò)程通過(guò)填空或留白等方式展示探索過(guò)程來(lái)引導學(xué)生進(jìn)行探究。例如，教科書(shū)在詳細研究了正弦函數，給出正弦函數的概念之后，設置了一個(gè)“探究”欄目，并提出問(wèn)題“在直角三角形中，當一個(gè)銳角確定時(shí)，它的對邊與斜邊的比就隨之確定，那么，此時(shí)其他邊之間的比是否也確定了呢？為什么？”，接下去，教科書(shū)直接給出了余弦函數和正切函數的概念，而將“鄰邊與斜邊的比、對邊與鄰邊的比也分別是確定的”這個(gè)結論的探究過(guò)程完全留給學(xué)生自己完成。再如，對于、、這幾個(gè)特殊角的三角函數值，教科書(shū)也是首先設置一個(gè)“思考”欄目，在欄目中提出問(wèn)題“兩塊三角尺中有幾個(gè)不同的銳角，分別求出這幾個(gè)銳角的正弦值、余弦值和正切值”，然后教科書(shū)用一個(gè)表格直接給出了這幾個(gè)特殊角的三角函數值，而將這些角的三角函數值的求解過(guò)程留給學(xué)生完成。這樣的一種編寫(xiě)方式就為學(xué)生提供了更加廣闊的探索空間，開(kāi)闊思路，發(fā)展學(xué)生的思維能力，有效改變學(xué)生的學(xué)習方式．
（三）揭示數學(xué)內容的本質(zhì)
本章的一個(gè)教學(xué)目標是使學(xué)生理解銳角三角函數的概念，這個(gè)概念與學(xué)生以前所學(xué)的一次函數、反比例函數和二次函數有所不同，它反映的不是數值與數值的對應關(guān)系，而是角度與數值之間的對應關(guān)系，學(xué)生初次接觸這種對應關(guān)系，理解起來(lái)有一定的困難，而這種對應關(guān)系對學(xué)生深刻地理解函數的概念又有很大幫助，因此，教科書(shū)針對這種情況，加強了對銳角三角函數所反映的角度與數值之間的對應關(guān)系的刻畫(huà)。例如，對于正弦函數，教科書(shū)首先研究了在直角三角形中，和的銳角所對的邊與斜邊的比分別是常數和，然后就一般情況進(jìn)行研究，并得出結論：當一個(gè)銳角的度數一定時(shí)，這個(gè)角的對邊與斜邊的比也是一個(gè)常數，這樣就突出了銳角與比值的對應關(guān)系，即對于每一個(gè)銳角，都有一個(gè)比值與之對應，從而給出正弦函數的定義。同樣，教科書(shū)在闡述余弦函數和正切函數時(shí)也突出了銳角與“鄰邊與斜邊的比值”之間的對應關(guān)系以及銳角與“對邊和鄰邊的比值”之間的對應關(guān)系，并在邊注進(jìn)一步強調了這種函數關(guān)系：對于銳角A的每一個(gè)確定的值，sinA有唯一確定的值與它對應，所以sinA是A的函數。同樣地，cosA，tanA也是A的函數。這樣，就可以讓學(xué)生對變量的性質(zhì)以及變量之間的對應關(guān)系有更深刻的認識，加深對函數概念的理解。
微積分的思想在數學(xué)中占有重要的地位，其基本思想是“化整為零，積零為整”“化曲為直，以直代曲”，這個(gè)基本思想是很樸素的，是可以在初等數學(xué)中反映的。教科書(shū)在本章最后，結合解直角三角形的內容，采用與測量大壩的高度和測量山的高度相對比的方式，直觀(guān)形象地介紹了在確定山的高度時(shí)，如何將山坡“化整為零”，如何將山坡的長(cháng)度“化曲為直、以直代曲”，又如何將每一部分的高度“積零為整”，這樣編寫(xiě)的目的是要體現微積分的基本思想，讓學(xué)生通過(guò)直觀(guān)形象的例子對微積分的基本思想有一個(gè)初步的認識。綜上所述，本章編寫(xiě)時(shí)注意突出數學(xué)內容的本質(zhì)，強調數學(xué)思想方法，這有助于提高學(xué)生的數學(xué)素養。
三、幾個(gè)值得關(guān)注的問(wèn)題
（一）注意加強知識間的縱向聯(lián)系
第27章“相似”為本章研究銳角三角函數打下基礎，因為利用“相似三角形的對應邊成比例”可以解釋銳角三角函數定義的合理性。例如，教科書(shū)在研究正弦函數的概念時(shí)，利用了“在直角三角形中，所對的邊等于斜邊的一半”，得出了“在一個(gè)直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于，那么不管三角形的大小如何，這個(gè)角的對邊與斜邊的比值都等于”。事實(shí)上，在直角三角形中，如果一個(gè)角等于 ，那么這樣的直角三角形都相似，因此，不管這樣的三角形的大小如何，它們的對應邊成比例，這也就是說(shuō)，對于，雖然教科書(shū)是從兩個(gè)特殊的直角三角形（的對邊分別是70和50）歸納得到的，但這個(gè)結論是可以從三角形相似的角度來(lái)解釋的。同樣，對于有類(lèi)似的情況。當然，教科書(shū)利用相似三角形的有關(guān)結論解釋了在一般情形中正弦定義的合理性。因此，銳角三角函數的內容與相似三角形是密切聯(lián)系的，教學(xué)中要注意加強兩者之間的聯(lián)系。
全等三角形的有關(guān)理論對理解本章內容有積極的作用。例如，在研究解直角三角形時(shí)，教科書(shū)通過(guò)探索得到結論：事實(shí)上，在直角三角形的六個(gè)元素中，除直角外，如果在知道兩個(gè)元素（其中至少有一個(gè)是邊），這個(gè)三角形就確定下來(lái)了，這樣就可以由已知的兩個(gè)元素求出其余的三個(gè)元素，這個(gè)結論的獲得實(shí)際上利用了直角三角形全等的有關(guān)理論，因為對于兩個(gè)直角三角形，如果已知兩個(gè)元素對應相等，并且其中有一個(gè)元素是邊，那么這兩個(gè)直角三角形全等，也就是已知一個(gè)直角三角形的除直角外的兩個(gè)元素，其中至少有一個(gè)是邊，這個(gè)三角形就確定下來(lái)，因此就可以利用這兩個(gè)元素求出其余的元素。因此，利用三角形全等的理論，有利于理解解直角三角形的相關(guān)內容。教學(xué)中要注意加強知識間的相互聯(lián)系，使學(xué)生的學(xué)習形成正遷移。
另外，本章所研究的銳角三角函數反映了銳角與數值之間的函數關(guān)系，這雖然與一次函數、反比例函數以及二次函數所反映的數值與數值之間的對應關(guān)系有所不同，但它們都反映了變量之間的對應關(guān)系，本質(zhì)上是一致的，因此教學(xué)時(shí)，要注意讓學(xué)生體會(huì )這些不同函數之間的共同特征，更好地理解函數的概念。
（二）注意數形結合，自然體現數與形之間的聯(lián)系
數形結合是重要的數學(xué)思想和數學(xué)方法，本章內容又是數形結合的很理想的材料。例如，對于銳角三角函數的概念，教科書(shū)是利用學(xué)生對直角三角形的認識（在直角三角形中，所對的邊等于斜邊的一半，的直角三角形是等腰直角三角形）以及相似三角形的有關(guān)知識引入的，結合幾何圖形來(lái)定義銳角三角函數的概念，將數形結合起來(lái)，有利于學(xué)生理解銳角三角函數的本質(zhì)。再比如，解直角三角形在實(shí)際中有著(zhù)廣泛的作用，在將這些實(shí)際問(wèn)題抽象成數學(xué)問(wèn)題，并利用銳角三角函數解直角三角形時(shí)，離不開(kāi)幾何圖形，這時(shí)往往需要根據題意畫(huà)出幾何圖形，通過(guò)分析幾何圖形得到邊、角等的關(guān)系，再通過(guò)計算、推理等使實(shí)際問(wèn)題得到解決。因此在本章教學(xué)時(shí)，要注意加強數形結合，在引入概念、推理論述、化簡(jiǎn)計算、解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，都要盡量畫(huà)圖幫助分析，通過(guò)圖形幫助找到直角三角形的邊、角之間的關(guān)系，加深對直角三角形本質(zhì)的理解。
