歐拉方程公式？
歐拉公式
1752年歐拉證明的定理
在任何一個(gè)規則球面地圖上，用 R記區域個(gè) 數，V記頂點(diǎn)個(gè)數，E記邊界個(gè)數，則 R+ V- E= 2，這就是歐拉定理，它于 1640年由 Descartes首先給出證明，后來(lái) Euler(歐拉 )于 1752年又獨立地給出證明，我們稱(chēng)其為歐拉定理，在國外也有人稱(chēng)其 為 Descartes定理。R+ V- E= 2就是歐拉公式。
基本信息
中文名
歐拉公式
外文
Eulers formul
別名
歐拉
證明
用數學(xué)歸
( 1)當 R= 2時(shí)，由說(shuō)明 1,這兩個(gè)區域可想象為 以赤道為邊界的兩個(gè)半球面，赤道上有兩個(gè)“頂點(diǎn)”將赤道分成兩條“邊界”，即 R= 2，V= 2，E= 2；于是 R+ V- E= 2,歐拉定理成立.。
( 2)設 R= m(m≥ 2)時(shí)歐拉定理成立，下面證明 R= m+ 1時(shí)歐拉定理也成立。
由說(shuō)明 2，我們在 R= m+ 1的地圖上任選一個(gè) 區域 X ,則 X 必有與它如此相鄰的區域 Y ，使得在 去掉 X 和 Y 之間的唯一一條邊界后，地圖上只有 m 個(gè)區域了；在去掉 X 和 Y 之間的邊界后，若原該邊界兩端 的頂點(diǎn)現在都還是 3條或 3條以上邊界的頂點(diǎn)，則 該頂點(diǎn)保留，同時(shí)其他的邊界數不變；若原該邊界一 端或兩端的頂點(diǎn)現在成為 2條邊界的頂點(diǎn)，則去掉 該頂點(diǎn) ,該頂點(diǎn)兩邊的兩條邊界便成為一條邊界。于是 ,在去掉 X 和 Y之間的唯一一條邊界時(shí)只有三種 情況：
①減少一個(gè)區域和一條邊界；
②減少一個(gè)區 域、一個(gè)頂點(diǎn)和兩條邊界；
③減少一個(gè)區域、兩個(gè)頂點(diǎn)和三條邊界；
即在去掉 X 和 Y 之間的邊界時(shí) ,不論何種情況都必定有“減少的區域數 + 減少的頂點(diǎn)數 = 減少的邊界數”我們將上述過(guò)程反過(guò)來(lái) (即將 X 和 Y之間去掉的邊 界又照原樣畫(huà)上 ) ，就又成為 R= m+ 1的地圖了，在 這一過(guò)程中必然是“增加的區域數 + 增加的頂點(diǎn)數 = 增加的邊界數”。
因此，若 R= m (m≥2)時(shí)歐拉定理成立，則 R= m+ 1時(shí)歐拉定理也成立.。
由 ( 1)和 ( 2)可知 ,對于任何正整數 R≥2,歐拉 定理成立。 .
柯西的證明
第一個(gè)歐拉公式的嚴格證明，由20歲的柯西給出，大致如下：
從多面體去掉一面，通過(guò)把去掉的面的邊互相拉遠，把所有剩下的面變成點(diǎn)和曲線(xiàn)的平面網(wǎng)絡(luò )。不失一般性，可以假設變形的邊繼續保持為直線(xiàn)段。正常的面不再是正常的多邊形即使開(kāi)始的時(shí)候它們是正常的。但是，點(diǎn)，邊和面的個(gè)數保持不變，和給定多面體的一樣(移去的面對應網(wǎng)絡(luò )的外部。)
重復一系列可以簡(jiǎn)化網(wǎng)絡(luò )卻不改變其歐拉數（也是歐拉示性數）的額外變換。
若有一個(gè)多邊形面有3條邊以上，我們劃一個(gè)對角線(xiàn)。這增加一條邊和一個(gè)面。繼續增加邊直到所有面都是三角形。
除掉只有一條邊和外部相鄰的三角形。這把邊和面的個(gè)數各減一而保持頂點(diǎn)數不變。
（逐個(gè)）除去所有和網(wǎng)絡(luò )外部共享兩條邊的三角形。這會(huì )減少一個(gè)頂點(diǎn)、兩條邊和一個(gè)面。
重復使用第2步和第3步直到只剩一個(gè)三角形。對于一個(gè)三角形（把外部數在內），。所以。
推理證明
設想這個(gè)多面體是先有一個(gè)面，然后將其他各面一個(gè)接一個(gè)地添裝上去的。因為一共有F個(gè)面，因此要添(F-1)個(gè)面.
考察第Ⅰ個(gè)面，設它是n邊形，有n個(gè)頂點(diǎn)，n條邊，這時(shí)E=V，即棱數等于頂點(diǎn)數.
添上第Ⅱ個(gè)面后，因為一條棱與原來(lái)的棱重合，而且有兩個(gè)頂點(diǎn)和第Ⅰ個(gè)面的兩個(gè)頂點(diǎn)重合，所以增加的棱數比增加的頂點(diǎn)數多1，因此，這時(shí)E=V+1.
以后每增添一個(gè)面，總是增加的棱數比增加的頂點(diǎn)數多1，例如
增添兩個(gè)面后，有關(guān)系E=V+2;
增添三個(gè)面后，有關(guān)系E=V+3;
……
增添(F-2)個(gè)面后，有關(guān)系E=V+ (F-2).
最后增添一個(gè)面后，就成為多面體，這時(shí)棱數和頂點(diǎn)數都沒(méi)有增加。因此，關(guān)系式仍為E=V+ (F-2).即
F+V=E+2.
這個(gè)公式叫做歐拉公式。它表明2這個(gè)數是簡(jiǎn)單多面體表面在連續變形下不變的數。
分式
當r=0或1時(shí)式子的值為0，當r=2時(shí)值為1，當r=3時(shí)值為a+b+c。
