歐拉方程公式？

歐拉公式

1752年歐拉證明的定理

在任何一個(gè)規(guī)則球面地圖上，用 R記區(qū)域個(gè) 數(shù)，V記頂點(diǎn)個(gè)數(shù)，E記邊界個(gè)數(shù)，則 R+ V- E= 2，這就是歐拉定理，它于 1640年由 Descartes首先給出證明，后來(lái) Euler(歐拉 )于 1752年又獨(dú)立地給出證明，我們稱其為歐拉定理，在國(guó)外也有人稱其 為 Descartes定理。R+ V- E= 2就是歐拉公式。

基本信息

中文名

歐拉公式

外文

Eulers formul

別名

歐拉

證明

用數(shù)學(xué)歸

( 1)當(dāng) R= 2時(shí)，由說(shuō)明 1,這兩個(gè)區(qū)域可想象為 以赤道為邊界的兩個(gè)半球面，赤道上有兩個(gè)“頂點(diǎn)”將赤道分成兩條“邊界”，即 R= 2，V= 2，E= 2；于是 R+ V- E= 2,歐拉定理成立.。

( 2)設(shè) R= m(m≥ 2)時(shí)歐拉定理成立，下面證明 R= m+ 1時(shí)歐拉定理也成立。

由說(shuō)明 2，我們?cè)?R= m+ 1的地圖上任選一個(gè) 區(qū)域 X ,則 X 必有與它如此相鄰的區(qū)域 Y ，使得在 去掉 X 和 Y 之間的唯一一條邊界后，地圖上只有 m 個(gè)區(qū)域了；在去掉 X 和 Y 之間的邊界后，若原該邊界兩端 的頂點(diǎn)現(xiàn)在都還是 3條或 3條以上邊界的頂點(diǎn)，則 該頂點(diǎn)保留，同時(shí)其他的邊界數(shù)不變；若原該邊界一 端或兩端的頂點(diǎn)現(xiàn)在成為 2條邊界的頂點(diǎn)，則去掉 該頂點(diǎn) ,該頂點(diǎn)兩邊的兩條邊界便成為一條邊界。于是 ,在去掉 X 和 Y之間的唯一一條邊界時(shí)只有三種 情況：

①減少一個(gè)區(qū)域和一條邊界；

②減少一個(gè)區(qū) 域、一個(gè)頂點(diǎn)和兩條邊界；

③減少一個(gè)區(qū)域、兩個(gè)頂點(diǎn)和三條邊界；

即在去掉 X 和 Y 之間的邊界時(shí) ,不論何種情況都必定有“減少的區(qū)域數(shù) + 減少的頂點(diǎn)數(shù) = 減少的邊界數(shù)”我們將上述過(guò)程反過(guò)來(lái) (即將 X 和 Y之間去掉的邊 界又照原樣畫(huà)上 ) ，就又成為 R= m+ 1的地圖了，在 這一過(guò)程中必然是“增加的區(qū)域數(shù) + 增加的頂點(diǎn)數(shù) = 增加的邊界數(shù)”。

因此，若 R= m (m≥2)時(shí)歐拉定理成立，則 R= m+ 1時(shí)歐拉定理也成立.。

由 ( 1)和 ( 2)可知 ,對(duì)于任何正整數(shù) R≥2,歐拉 定理成立。 .

柯西的證明

第一個(gè)歐拉公式的嚴(yán)格證明，由20歲的柯西給出，大致如下：

從多面體去掉一面，通過(guò)把去掉的面的邊互相拉遠(yuǎn)，把所有剩下的面變成點(diǎn)和曲線的平面網(wǎng)絡(luò)。不失一般性，可以假設(shè)變形的邊繼續(xù)保持為直線段。正常的面不再是正常的多邊形即使開(kāi)始的時(shí)候它們是正常的。但是，點(diǎn)，邊和面的個(gè)數(shù)保持不變，和給定多面體的一樣(移去的面對(duì)應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的外部。)

重復(fù)一系列可以簡(jiǎn)化網(wǎng)絡(luò)卻不改變其歐拉數(shù)（也是歐拉示性數(shù)）的額外變換。

若有一個(gè)多邊形面有3條邊以上，我們劃一個(gè)對(duì)角線。這增加一條邊和一個(gè)面。繼續(xù)增加邊直到所有面都是三角形。

除掉只有一條邊和外部相鄰的三角形。這把邊和面的個(gè)數(shù)各減一而保持頂點(diǎn)數(shù)不變。

（逐個(gè)）除去所有和網(wǎng)絡(luò)外部共享兩條邊的三角形。這會(huì)減少一個(gè)頂點(diǎn)、兩條邊和一個(gè)面。

重復(fù)使用第2步和第3步直到只剩一個(gè)三角形。對(duì)于一個(gè)三角形（把外部數(shù)在內(nèi)），。所以。

推理證明

設(shè)想這個(gè)多面體是先有一個(gè)面，然后將其他各面一個(gè)接一個(gè)地添裝上去的。因?yàn)橐还灿蠪個(gè)面，因此要添(F-1)個(gè)面.

考察第Ⅰ個(gè)面，設(shè)它是n邊形，有n個(gè)頂點(diǎn)，n條邊，這時(shí)E=V，即棱數(shù)等于頂點(diǎn)數(shù).

添上第Ⅱ個(gè)面后，因?yàn)橐粭l棱與原來(lái)的棱重合，而且有兩個(gè)頂點(diǎn)和第Ⅰ個(gè)面的兩個(gè)頂點(diǎn)重合，所以增加的棱數(shù)比增加的頂點(diǎn)數(shù)多1，因此，這時(shí)E=V+1.

以后每增添一個(gè)面，總是增加的棱數(shù)比增加的頂點(diǎn)數(shù)多1，例如

增添兩個(gè)面后，有關(guān)系E=V+2;

增添三個(gè)面后，有關(guān)系E=V+3;

……

增添(F-2)個(gè)面后，有關(guān)系E=V+ (F-2).

最后增添一個(gè)面后，就成為多面體，這時(shí)棱數(shù)和頂點(diǎn)數(shù)都沒(méi)有增加。因此，關(guān)系式仍為E=V+ (F-2).即

F+V=E+2.

這個(gè)公式叫做歐拉公式。它表明2這個(gè)數(shù)是簡(jiǎn)單多面體表面在連續(xù)變形下不變的數(shù)。

分式

當(dāng)r=0或1時(shí)式子的值為0，當(dāng)r=2時(shí)值為1，當(dāng)r=3時(shí)值為a+b+c。