反函數(shù)教學(xué)視(反函數(shù)知識(shí)有哪些)

1.反函數(shù)知識(shí)有哪些

一般地，如果x與y關(guān)于某種對(duì)應(yīng)關(guān)系f(x)相對(duì)應(yīng)，y=f(x)。

則y=f(x)的反函數(shù)為y=f-1(x)。 存在反函數(shù)的條件是原函數(shù)必須是一一對(duì)應(yīng)的（不一定是整個(gè)數(shù)域內(nèi)的） 【反函數(shù)的性質(zhì)】 （1）互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)； （2）函數(shù)存在反函數(shù)的充要條件是，函數(shù)在它的定義域上是單調(diào)的； （3）一個(gè)函數(shù)與它的反函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上單調(diào)性一致； （4）偶函數(shù)一定不存在反函數(shù)，奇函數(shù)不一定存在反函數(shù)。

若一個(gè)奇函數(shù)存在反函數(shù)，則它的反函數(shù)也是奇函數(shù)。 （5）一切隱函數(shù)具有反函數(shù)； （6）一段連續(xù)的函數(shù)的單調(diào)性在對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)具有一致性； （7）嚴(yán)格增（減）的函數(shù)一定有嚴(yán)格增（減）的反函數(shù)【反函數(shù)存在定理】。

（8）反函數(shù)是相互的 （9）定義域、值域相反對(duì)應(yīng)法則互逆 （10）不是所有函數(shù)都有反函數(shù)如y=x的偶次方 例：y=2x-1的反函數(shù)是y=0.5x+0.5 y=2^x的反函數(shù)是y=log2 x 例題：求函數(shù)3x-2的反函數(shù) 解：y=3x-2的定義域?yàn)镽，值域?yàn)镽. 由y=3x-2解得 x=1/3(y+2) 將x,y互換，則所求y=3x-2的反函數(shù)是 y=1/3(x+2)。

2.怎樣畫(huà)反函數(shù)圖像和求反函

在教學(xué)過(guò)程中可以引導(dǎo)學(xué)生仿照正比例函數(shù)圖象的的畫(huà)法。

（1）列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對(duì)應(yīng)值。 強(qiáng)調(diào)注意： ① x≠0 ②列表時(shí)自變量取值易于計(jì)算，易于描點(diǎn)。

（2）描點(diǎn)。以表中對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)。

連線(xiàn)。 按照自變量由小到大的順序，把所描的點(diǎn)用平滑的曲線(xiàn)連接起來(lái)。

（4）觀(guān)察圖象與一次函數(shù)的圖象作對(duì)比。 總結(jié)作反比例函數(shù)圖象注意的問(wèn)題。

（1）。列表時(shí)，選取的自變量的值，既要易于計(jì)算，又要便于描點(diǎn)，盡量多取一些數(shù)值（取互為相反數(shù)的一對(duì)一對(duì)的數(shù)），多描一些點(diǎn)，這樣既可以方便連線(xiàn)，又可以使圖象精確。

（2）。描點(diǎn)時(shí)要嚴(yán)格按照表中所列的對(duì)應(yīng)值描點(diǎn)，絕對(duì)不能把點(diǎn)的位置描錯(cuò)。

（3）。一定要養(yǎng)成按自變量從小到大的順序依次畫(huà)線(xiàn)，連線(xiàn)時(shí)必須用光滑的曲線(xiàn)連接各點(diǎn)，不能用折線(xiàn)連接。

（4）。圖像是延伸的，注意不要畫(huà)成有明確端點(diǎn)。

（5）。曲線(xiàn)的發(fā)展趨勢(shì)只能靠近坐標(biāo)軸，但不能和坐標(biāo)軸相交。

3.常見(jiàn)反函數(shù)

x=f?1（y） 。

一般來(lái)說(shuō)，設(shè)函數(shù)y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一個(gè)函數(shù)g(y)在每一處g(y)都等于x，這樣的函數(shù)x= g(y)(y∈C)叫做函數(shù)y=f(x)(x∈A)的反函數(shù)，記作x=f-1(y) 。反函數(shù)x=f -1(y)的定義域、值域分別是函數(shù)y=f(x)的值域、定義域。

最具有代表性的反函數(shù)就是對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)。一般地，如果x與y關(guān)于某種對(duì)應(yīng)關(guān)系f(x)相對(duì)應(yīng)，y=f(x)，則y=f(x)的反函數(shù)為x=f-1(y)。

存在反函數(shù)（默認(rèn)為單值函數(shù)）的條件是原函數(shù)必須是一一對(duì)應(yīng)的（不一定是整個(gè)數(shù)域內(nèi)的）。注意：上標(biāo)"?1"指的是函數(shù)冪，但不是指數(shù)冪。

4.關(guān)于反函數(shù)

反函數(shù)定義 一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)(x∈A)的值域是C，根據(jù)這個(gè)函數(shù)中x,y 的關(guān)系，用y把x表示出，得到x= f(y). 若對(duì)于y在C中的任何一個(gè)值，通過(guò)x= f(y),x在A中都有唯一的值和它對(duì)應(yīng)，那么，x= f(y)就表示y是自變量，x是因變量y的函數(shù)，這樣的函數(shù)x= f(y)(y∈C)叫做函數(shù)y=f(x)(x∈A)的反函數(shù)，記作y=f^-1(x). 反函數(shù)y=f^-1(x)的定義域、值域分別是函數(shù)y=f(x)的值域、定義域. [編輯本段]反函數(shù)性質(zhì) （1）互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)； （2）函數(shù)存在反函數(shù)的必要條件是，函數(shù)的定義域與值域是一一映射； （3）一個(gè)函數(shù)與它的反函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上單調(diào)性一致； （4）大部分偶函數(shù)不存在反函數(shù)（唯一有反函數(shù)的偶函數(shù)是f(x)=a,x∈{0}）。

奇函數(shù)不一定存在反函數(shù)。被與y軸垂直的直線(xiàn)截時(shí)能過(guò)2個(gè)及以上點(diǎn)即沒(méi)有反函數(shù)。

若一個(gè)奇函數(shù)存在反函數(shù)，則它的反函數(shù)也是奇函數(shù)。 （5）一切隱函數(shù)具有反函數(shù)； （6）一段連續(xù)的函數(shù)的單調(diào)性在對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)具有一致性； （7）嚴(yán)格增（減）的函數(shù)一定有嚴(yán)格增（減）的反函數(shù)【反函數(shù)存在定理】。

（8）反函數(shù)是相互的 （9）定義域、值域相反對(duì)應(yīng)法則互逆（三反） （10）原函數(shù)一旦確定，反函數(shù)即確定（三定） 例：y=2x-1的反函數(shù)是y=0.5x+0.5 y=2^x的反函數(shù)是y=log2 x 例題：求函數(shù)3x-2的反函數(shù) 解：y=3x-2的定義域?yàn)镽，值域?yàn)镽. 由y=3x-2解得 x=1/3(y+2) 將x,y互換，則所求y=3x-2的反函數(shù)是 y=1/3(x+2)(x屬于R) (11)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)關(guān)系：如果X=F(X)在區(qū)間I上單調(diào)，可導(dǎo)，且F'(Y)不等于0，那么他的反函數(shù)Y=F'(X)在區(qū)間S={X|X=F(Y),Y屬于I }內(nèi)也可導(dǎo)，且[F'(X)]'=1\F'(Y)。 [編輯本段]反函數(shù)說(shuō)明 ⑴在函數(shù)x=f'(y)中，y是自變量，x是函數(shù)，但習(xí)慣上，我們一般用x表示自變量，用y 表示函數(shù)，為此我們常常對(duì)調(diào)函數(shù)x=f'(y)中的字母x,y，把它改寫(xiě)成y=f'(x)，今后凡無(wú)特別說(shuō)明，函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)都采用這種經(jīng)過(guò)改寫(xiě)的形式。

⑵反函數(shù)也是函數(shù)，因?yàn)樗虾瘮?shù)的定義. 從反函數(shù)的定義可知，對(duì)于任意一個(gè)函數(shù)y=f(x)來(lái)說(shuō)，不一定有反函數(shù)，若函數(shù)y=f(x)有反函數(shù)y=f'(x)，那么函數(shù)y=f'(x)的反函數(shù)就是y=f(x)，這就是說(shuō)，函數(shù)y=f(x)與y=f'(x)互為反函數(shù)。 ⑶從映射的定義可知，函數(shù)y=f(x)是定義域A到值域C的映射，而它的反函數(shù)y=f'(x)是集合C到集合A的映射，因此，函數(shù)y=f(x)的定義域正好是它的反函數(shù)y=f'(x)的值域；函數(shù)y=f(x)的值域正好是它的反函數(shù)y=f'(x)的定義域（如下表）： 函數(shù)：y=f(x) 反函數(shù)：y=f'(x) 定義域： A C 值域： C A ⑷上述定義用“逆”映射概念可敘述為： 若確定函數(shù)y=f(x)的映射f是函數(shù)的定義域到值域“上”的“一一映射”，那么由f的“逆”映射f^-1所確定的函數(shù)x=f'(x)就叫做函數(shù)y=f(x)的反函數(shù). 反函數(shù)x=f'(x)的定義域、值域分別是函數(shù)y=f(x)的值域、定義域. 開(kāi)始的兩個(gè)例子：s=vt記為f(t)=vt，則它的反函數(shù)就可以寫(xiě)為f'(t)=t/v，同樣y=2x+6記為f(x)=2x+6，則它的反函數(shù)為：f'(x)=x/2-3. 有時(shí)是反函數(shù)需要進(jìn)行分類(lèi)討論，如：f(x)=X+1/X，需將X進(jìn)行分類(lèi)討論：在X大于0時(shí)的情況，X小于0的情況，多是要注意的。

一般分?jǐn)?shù)函數(shù)的反函數(shù)的表示為y=ax+b/cx+d(a/c不等于b/d)--y=b-dx/cx+a [編輯本段]反函數(shù)應(yīng)用 直接求原函數(shù)的值域困難時(shí)，可以通過(guò)求其反函數(shù)的定義域來(lái)確定原函數(shù)的值域，求反函數(shù)的步驟是這樣的： 1、先求出反函數(shù)的定義域，因?yàn)樵瘮?shù)的值域就是反函數(shù)的定義域； （我們知道函數(shù)的三要素是定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則，所以先求反函數(shù)的定義域是求反函數(shù)的第一步） 2、反解x，也就是用y來(lái)表示x; 3、改寫(xiě)，交換位置，也就是把x改成y，把y改成x; 4、寫(xiě)出原函數(shù)及其值域。 實(shí)例：y=2x+1（值域：任意實(shí)數(shù)） x=(y-1)/2 y=(x-1)/2(x取任意實(shí)數(shù)) 特別地，形如kx+ky=b的直線(xiàn)方程和任意一個(gè)反比例函數(shù)，它的反函數(shù)都是它本身。

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5.急需反三角函數(shù)的知識(shí)

反三角函數(shù)就是三角函數(shù)的反函數(shù)。

公式：反三角函數(shù)和三角函數(shù)關(guān)系計(jì)算公式Secant（正割） Sec(X)=1/Cos(X) Cosecant（余割） Cosec(X) =1/Sin(X) Cotangent（余切） Cotan(X) =1/Tan(X) Inverse Sine（反正弦） Arcsin(X) = Atn(X / Sqr(-X * X + 1)) Inverse Secant（反正割）Arcsec(X)=Atn(X/Sqr(X* X-1))+Sgn((X)- 1) * (2 * Atn(1)) Inverse Cosecant（反余割） Arccosec(X) =Atn(X/Sqr(X*X-1))+(Sgn(X)- 1)*(2*Atn(1)) Inverse Cotangent（反余切） Arccotan(X)=Atn(X)+2*Atn(1)。