含絕對值的不等式解法
人教A版普通高中數學(xué)課程標準實(shí)驗教科書(shū)（選修4-5）《不等式選講》是根據教育部制訂的《普通高中數學(xué)課程標準(實(shí)驗)》(以下簡(jiǎn)稱(chēng)課程標準)的選修4系列第5專(zhuān)題“不等式選講”的要求編寫(xiě)的。
根據課程標準，本專(zhuān)題介紹一些重要的不等式和它們的證明、數學(xué)歸納法和它的簡(jiǎn)單應用。
一、內容與要求
1．回顧和復習不等式的基本性質(zhì)和基本不等式。
2．理解絕對值的幾何意義，并能利用絕對值不等式的幾何意義證明以下不等式：
（1）∣a＋b∣≤∣a∣＋∣b∣；（2）∣a－b∣≤∣a－c∣＋∣c－b∣；
（3）會(huì )利用絕對值的幾何意義求解以下類(lèi)型的不等式：
∣ax＋b∣≤c；∣ax＋b∣≥c；∣x－c∣＋∣x－b∣≥a。
3．認識柯西不等式的幾種不同形式。理解它們的幾何意義。
（1）證明柯西不等式的向量形式：|α||β|≥|α·β|。
（2）證明：（a2+b2）(c2+d2)≥(ac+bd)2。
（3）證明：
≥ 。
4．用參數配方法討論柯西不等式的一般情況：
5．用向量遞歸方法討論排序不等式。
6．了解數學(xué)歸納法的原理及其使用范圍，會(huì )用數學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。
7．會(huì )用數學(xué)歸納法證明貝努利不等式：
(1＋x)n ＞1＋nx（x＞-1,n為正整數）。
了解當n為實(shí)數時(shí)貝努利不等式也成立。
8．會(huì )用上述不等式證明一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。能夠利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函數的極值。
9．通過(guò)一些簡(jiǎn)單問(wèn)題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法。
二、內容安排
本專(zhuān)題內容分成四講，結構如下圖所示：
本專(zhuān)題的內容是在初中階段掌握了不等式的基本概念，學(xué)會(huì )了一元一次不等式、一元一次不等式組的解法，多數學(xué)生在學(xué)習高中必修課五個(gè)模塊的基礎上展開(kāi)的．作為一個(gè)選修專(zhuān)題，教科書(shū)在內容的呈現上保持了相對的完整性．
第一講是“不等式和絕對值不等式”，它是本專(zhuān)題的最基本內容，也是其余三講的基礎．
本講的第一部分類(lèi)比等式的基本性質(zhì)，從“數與運算”的基本思想出發(fā)討論不等式的基本性質(zhì)，這是關(guān)于不等式在運算方面的一些最基本法則．接著(zhù)討論基本不等式，介紹了基本不等式的一個(gè)幾何解釋?zhuān)骸爸苯侨切涡边吷系闹芯€(xiàn)不小于斜邊上的高”，并把基本不等式推廣到三個(gè)正數的算術(shù)—幾何平均不等式．對于一般形式的均值不等式，則只作簡(jiǎn)單介紹，不給出證明．在此基礎上，介紹了它們在解決實(shí)際問(wèn)題中的一些應用，如最基本的等周問(wèn)題，簡(jiǎn)單的極值問(wèn)題等。
第二部分討論了有關(guān)絕對值不等式的性質(zhì)及絕對值不等式的解法．絕對值是與實(shí)數有關(guān)的一個(gè)基本而重要的概念，討論關(guān)于絕對值的不等式具有重要的意義．
絕對值三角不等式是一個(gè)基本的結論，教科書(shū)首先引導學(xué)生借助于實(shí)數在數軸上的表示和絕對值的幾何意義，引導學(xué)生從數的運算角度探究歸納出絕對值三角不等式，接著(zhù)聯(lián)系向量形式的三角不等式，得到絕對值三角不等式的幾何解釋?zhuān)詈笥么鷶捣椒ńo出證明．這樣，數形結合，引導學(xué)生多角度認識這個(gè)不等式，逐步深化對它的理解．利用絕對值三角不等式可以解決形如 的函數的極值問(wèn)題，教科書(shū)安排了一個(gè)這樣的實(shí)際問(wèn)題。
對于解含有絕對值的不等式，教科書(shū)只討論了兩種特殊類(lèi)型不等式的解法，而不是系統地對這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行研究。教科書(shū)引導學(xué)生探討了形如 或 的不等式的解法，以及形如 或 的不等式的解法．學(xué)生通過(guò)這兩類(lèi)含有絕對值的不等式能夠基本學(xué)到解含有絕對值的不等式的一般思想和方法。
第二講是“證明不等式的基本方法”．對于不等式的深入討論必須首先掌握一些基本的方法，所以本講內容也是本專(zhuān)題的一個(gè)基礎內容。本講通過(guò)一些比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，介紹了證明不等式的幾種常用而基本的方法：比較法、綜合法、分析法、反證法和放縮法．
比較法是證明不等式的最基本的方法，比較法可以分為兩種，一種是相減比較法，它的依據是：
另一種是相除比較法，是把不等式兩邊相除，轉化為比較所得商式與1的大小關(guān)系，它的依據是：當b＞0時(shí)，
在比較法的兩種方法中，相減比較法又是最基本而重要的一種方法。
在證明不等式的過(guò)程中，根據對于不等式的條件和結論不同探索方向作分類(lèi)，證明方法又可以分為分析法和綜合法。在證明不等式時(shí)，可以從已知條件出發(fā)逐步推出結論的方法是綜合法；尋找結論成立的充分條件，從而證明不等式的方法就是分析法．
證明不等式的方法還可以分為直接證法和間接證法，反證法是一種間接證法．它從不等式結論的反面出發(fā)，即假設要證明的結論不成立，經(jīng)過(guò)正確的推理，得出矛盾結果，從而說(shuō)明假設錯誤，而要證的原不等式結論成立．
在證明不等式的過(guò)程中，有時(shí)通過(guò)對不等式的某些部分作適當的放大或縮小達到證明的目的，這就是所謂的放縮法．
教科書(shū)對以上方法都結合實(shí)例加以介紹。本講內容對進(jìn)一步討論不等式提供了思想方法的基礎．
本講的教學(xué)內容中，用反證法和放縮法證明不等式是新的課程標準才引入到中學(xué)數學(xué)教學(xué)中的內容。
第三講是“柯西不等式和排序不等式”．本講介紹兩個(gè)基本的不等式：柯西不等式和排序不等式，以及它們的簡(jiǎn)單應用．
柯西不等式是基本而重要的不等式，是推證其他許多不等式的基礎，有著(zhù)廣泛的應用．教科書(shū)首先介紹二維形式的柯西不等式，再從向量的角度來(lái)認識柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介紹一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在證明不等式和求某些特殊類(lèi)型的函數極值中的應用。
在介紹了二維形式的柯西不等式的基礎上，教科書(shū)引導學(xué)生在平面直角坐標系中，根據兩點(diǎn)間的距離公式以及三角形的邊長(cháng)關(guān)系，從幾何意義上發(fā)現二維形式的三角不等式。接著(zhù)借助二維形式的柯西不等式證明了三角不等式。在一般形式的柯西不等式的基礎上，教科書(shū)安排了一個(gè)探究欄目，讓學(xué)生通過(guò)探究得出一般形式的三角不等式。
排序不等式也是基本而重要的不等式，一些重要不等式可以看成是排序不等式的特殊情形，例如不等式 ．有些重要不等式則可以借助排序不等式得到簡(jiǎn)捷的證明。教科書(shū)在討論排序不等式時(shí)，展示了一個(gè)“探究——猜想——證明——應用”的研究過(guò)程，目的是引導學(xué)生通過(guò)自己的數學(xué)活動(dòng)，初步認識排序不等式的數學(xué)意義、證明方法和簡(jiǎn)單應用。
柯西不等式、三角不等式和排序不等式也是數學(xué)課程標準正式引入到高中數學(xué)教學(xué)中。
第四講是“數學(xué)歸納法證明不等式”．本講介紹了數學(xué)歸納法及其在證明不等式中的應用．對于某些不等式，必須借助于數學(xué)歸納法證明，所以在不等式選講的專(zhuān)題中安排這個(gè)內容是很有必要的。教科書(shū)首先結合具體例子，提出尋找一種用有限步驟處理無(wú)限多個(gè)對象的方法的問(wèn)題．然后，類(lèi)比多米諾骨牌游戲，引入用數學(xué)歸納法證明命題的方法，并分析了數學(xué)歸納法的基本結構和用它證明命題時(shí)應注意的問(wèn)題（兩個(gè)步驟缺一不可）．接著(zhù)舉例說(shuō)明數學(xué)歸納法在證明不等式中的應用，特別地，證明了貝努利不等式。
