實變函數(shù)(學好實變函數(shù)前需要掌握哪些)
1.學好實變函數(shù)前需要掌握哪些基礎知識
當然就是之前的專業(yè)課。
最重要的就是數(shù)學分析，尤其是黎曼積分以及分析學的思路。
實變函數(shù)就是黎曼積分的拓展，介紹一種新的積分——勒貝格積分，將可積函數(shù)類的范圍擴大了。
值得注意的是勒貝格積分當中，牛頓萊布尼茲公式不一定成立（僅有一個小于等于號），除非是絕對連續(xù)或者有界變差等某些情形。
在引入勒貝格積分的過程中，測度論是不可少的，有很多引進測度的方法。要掌握這些基本上邏輯沒有問題就行了，并不需要什么準備知識，通常的實變書都應該有一些集合論的知識。
高等代數(shù)、解析幾何、微分方程、復變都完全用不到的，基本就是數(shù)學分析。
2.實變函數(shù)的基礎理論是什么
《實變函數(shù)》是大學數(shù)學系本科階段理論性較強的一門基礎課程。
該課程的主要研究對象是定義在實數(shù)集上的實函數(shù)，集合論方法與極限方法是其主要的研究方法，因而該課程又稱“實分析”。該課程的核心內(nèi)容是Lebesgue測度與Lebesgue積分，Lebesgue測度與Lebesgue積分理論的產(chǎn)生來自于對Riemann積分的改良。
筆者通過多年實變函數(shù)課程的教學與教改實踐，積累了點滴經(jīng)驗，形成了自己一些膚淺見解。本書就是筆者根據(jù)自己學習與教學的體會，對實變函數(shù)課程的核心內(nèi)容進行整理而形成的。
本書以塊狀格式呈現(xiàn)材料的寫作方式與以往的實及實變函數(shù)學習指導書的寫作方式有較大的不同。筆者認為，這種寫作方式，一方面有利于突現(xiàn)實變函數(shù)課程的學科結構，另一方面可留給該書讀者更大的思考與創(chuàng)意空間。
考慮到初學實變函數(shù)者做實變函數(shù)習題普遍感到難以入門，本書后面附有一部分實變函數(shù)常見習題的解答參考或提示。 目錄第1章 集合與點集 1.1 集合及其運算 1.1.1 問題提出 1.1.2 概念入門 1.1.3 主要事實 1.1.4 例題選講 1.1.5 基礎題訓練 1.1.6 提高性習題 1.2 映射與基數(shù) 1.2.1 問題提出 1.2.2 概念入門 1.2.3 主要事實 1.2.4 例題選講 1.2.5 基礎題訓練 1.2.6 提高性習題 1.3 可數(shù)集與連續(xù)基數(shù)集 1.3.1 問題提出 1.3.2 概念入門 1.3.3 主要事實 1.3.4 例題選講 1.3.5 基礎題訓練 1.3.6 提高性習題 1.4 直線上的點集 1.4.1 問題提出 1.4.2 概念入門 1.4.3 主要事實 1.4.4 例題選講 1.4.5 基礎題訓練 1.4.6 提高性習題 1.5 關于集合論的幾點注記 1.5.1 集合論創(chuàng)始人Canator簡介 1.5.2 實無窮觀與潛無窮觀 1.5.3 連續(xù)統(tǒng)假設 1.5.4 第三次數(shù)學危機與Z-F集合論公理系統(tǒng) 1.5.5 集合思想對中學數(shù)學的指導 1.5.6 一一映射思想對中學數(shù)學的指導第2章 測度論 2.1 外測度 2.2 可測集與測度 2.3 可測集類與可測集的結構 2.4 關于測度論的幾點注記第3章 可測函數(shù) 3.1 可測函數(shù)概念及性質 3.2 可測函數(shù)列的各種收斂性 3.3 關于可測函數(shù)的幾點注記第4章 Lebesgue積分 4.1 非負簡單函數(shù)與非負可測函數(shù)的（L）積分 4.2 一般可測函數(shù)的（L）積分 4.3 (L)積分與（R）積分 4.4 Fubini定理 4.5 關于（L）積分的幾點注記第5章 微分理論初步 5.1 單調(diào)函數(shù)與有界變差函數(shù)的微分性質 5.2 不定積分與絕對連續(xù)函數(shù) 5.3 關于微分理論的兩點注記附錄 基礎題訓練、提高性習題部分參考解答或提示參考文獻。
3.實變函數(shù)
實變函數(shù)論的產(chǎn)生 微積分產(chǎn)生于十七世紀，到了十八世紀末十九世紀初，微積分學已經(jīng)基本上成熟了。
數(shù)學家廣泛地研究并建立起它的許多分支，是它很快就形成了數(shù)學中的一大部門，也就是數(shù)學分析。 也正是在那個時候，數(shù)學家逐漸發(fā)現(xiàn)分析基礎本身還存在著學多問題。
比如，什么是函數(shù)這個看上去簡單而且十分重要的問題，數(shù)學界并沒有形成一致的見解。以至長期爭論者問題的這樣和那樣的解答，這樣和那樣的數(shù)學結果，弄不清究竟誰是正確的。
又如，對于什么是連續(xù)性和連續(xù)函數(shù)的性質是什么，數(shù)學界也沒有足夠清晰的理解。 十九世紀初，曾經(jīng)有人試圖證明任何連續(xù)函數(shù)除個別點外總是可微的。
后來，德國數(shù)學家維爾斯特拉斯提出了一個由級數(shù)定義的函數(shù)，這個函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，但是維爾斯特拉斯證明了這個函數(shù)在任何點上都沒有導數(shù)。這個證明使許多數(shù)學家大為吃驚。
由于發(fā)現(xiàn)了某些函數(shù)的奇特性質，數(shù)學家對函數(shù)的研究更加深入了。人們又陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了有些函數(shù)是連續(xù)的但處處不可微，有的函數(shù)的有限導數(shù)并不黎曼可積；還發(fā)現(xiàn)了連續(xù)但是不分段單調(diào)的函數(shù)等等。
這些都促使數(shù)學家考慮，我們要處理的函數(shù)，僅僅依靠直觀觀察和猜測是不行的，必須深入研究各種函數(shù)的性質。比如，連續(xù)函數(shù)必定可積，但是具有什么性質的不連續(xù)函數(shù)也可積呢？如果改變積分的定義，可積分條件又是什么樣的？連續(xù)函數(shù)不一定可導，那么可導的充分必要條件由是什么樣的？…… 上面這些函數(shù)性質問題的研究，逐漸產(chǎn)生了新的理論，并形成了一門新的學科，這就是實變函數(shù)。
實變函數(shù)的內(nèi)容 以實數(shù)作為自變量的函數(shù)就做實變函數(shù)，以實變函數(shù)作為研究對象的數(shù)學分支就叫做實變函數(shù)論。它是微積分學的進一步發(fā)展，它的基礎是點集論。
什么是點集論呢？點集論是專門研究點所成的集合的性質的理論。也可以說實變函數(shù)論是在點集論的基礎上研究分析數(shù)學中的一些最基本的概念和性質的。
比如，點集函數(shù)、序列、極限、連續(xù)性、可微性、積分等。實變函數(shù)論還要研究實變函數(shù)的分類問題、結構問題。
實變函數(shù)論的內(nèi)容包括實值函數(shù)的連續(xù)性質、微分理論、積分理論和測度論等。這里我們只對它的一些重要的基本概念作簡要的介紹。
實變函數(shù)論的積分理論研究各種積分的推廣方法和它們的運算規(guī)則。 由于積分歸根到底是數(shù)的運算，所以在進行積分的時候，必須給各種點集以一個數(shù)量的概念，這個概念叫做測度。
什么實測度呢？簡單地說，一條線段的長度就是它的測度。測度的概念對于實變函數(shù)論十分重要。
集合的測度這個概念實由法國數(shù)學家勒貝格提出來的。 為了推廣積分概念，1893年，約當在他所寫的《分析教程》中，提出了“約當容度”的概念并用來討論積分。
1898年，法國數(shù)學家波萊爾把容度的概念作了改進，并把它叫做測度。波萊爾的學生勒貝格后來發(fā)表《積分、長度、面積》的論文，提出了“勒貝格測度”、“勒貝格積分”的概念。
勒貝格還在他的論文《積分和圓函數(shù)的研究》中，證明了有界函數(shù)黎曼可積的充分必要條件是不連續(xù)點構成一個零測度集，這就完全解決了黎曼可積性的問題。 勒貝格積分可以推廣到無界函數(shù)的情形，這個時候所得積分是絕對收斂的，后來由推廣到積分可以不是絕對收斂的。
從這些就可以看出，勒貝格積分比起由柯西給出后來又由黎曼發(fā)揚的老積分定義廣大多了。也可以看出，實變函數(shù)論所研究的是更為廣泛的函數(shù)類。
自從維爾斯特拉斯證明連續(xù)函數(shù)必定可以表示成一致收斂的多項式級數(shù)，人們就認清連續(xù)函數(shù)必定可以解析地表達出來，連續(xù)函數(shù)也必定可以用多項式來逼近。 這樣，在實變函數(shù)論的領域里又出現(xiàn)了逼近論的理論。
什么是逼近理論呢？舉例來說，如果能把 A類函數(shù)表示成 B類函數(shù)的極限，就說 A類函數(shù)能以 B類函數(shù)來逼近。如果已經(jīng)掌握了 B類函數(shù)的某些性質，那么往往可以由此推出 A類函數(shù)的相應性質。
逼近論就是研究那一類函數(shù)可以用另一類函數(shù)來逼近、逼近的方法、逼近的程度和在逼近中出現(xiàn)的各種情況。 和逼近理論密切相關的有正交級數(shù)理論，三角級數(shù)就是一種正交級數(shù)。
和逼近理論相關的還有一種理論，就是從某一類已知函數(shù)出發(fā)構造出新的函數(shù)類型的理論，這種理論叫做函數(shù)構造論。 總之，實變函數(shù)論和古典數(shù)學分析不同，它是一種比較高深精細的理論，是數(shù)學的一個重要分支，它的應用廣泛，它在數(shù)學各個分支的應用是現(xiàn)代數(shù)學的特征。
實變函數(shù)論不僅應用廣泛，是某些數(shù)學分支的基本工具，而且它的觀念和方法以及它在各個數(shù)學分支的應用，對形成近代數(shù)學的一般拓撲學和泛函分析兩個重要分支有著極為重要的影響。 。
4.什么是實變函數(shù)
以實數(shù)作為自變量的函數(shù)就做實變函數(shù)，以實變函數(shù)作為研究對象的數(shù)學分支就叫做實變函數(shù)論。
它是微積分學的進一步發(fā)展，它的基礎是點集論。什么是點集論呢？點集論是專門研究點所成的集合的性質的理論。
也可以說實變函數(shù)論是在點集論的基礎上研究分析數(shù)學中的一些最基本的概念和性質的。 比如，點集函數(shù)、序列、極限、連續(xù)性、可微性、積分等。
實變函數(shù)論還要研究實變函數(shù)的分類問題、結構問題。 實變函數(shù)論的內(nèi)容包括實值函數(shù)的連續(xù)性質、微分理論、積分理論和測度論等。
這里我們只對它的一些重要的基本概念作簡要的介紹。 實變函數(shù)論的積分理論研究各種積分的推廣方法和它們的運算規(guī)則。
由于積分歸根到底是數(shù)的運算，所以在進行積分的時候，必須給各種點集以一個數(shù)量的概念，這個概念叫做測度。 什么實測度呢？簡單地說，一條線段的長度就是它的測度。
測度的概念對于實變函數(shù)論十分重要。集合的測度這個概念實由法國數(shù)學家勒貝格提出來的。
為了推廣積分概念，1893年，約當在他所寫的《分析教程》中，提出了“約當容度”的概念并用來討論積分。1898年，法國數(shù)學家波萊爾把容度的概念作了改進，并把它叫做測度。
波萊爾的學生勒貝格后來發(fā)表《積分、長度、面積》的論文，提出了“勒貝格測度”、“勒貝格積分”的概念。 勒貝格還在他的論文《積分和圓函數(shù)的研究》中，證明了有界函數(shù)黎曼可積的充分必要條件是不連續(xù)點構成一個零測度集，這就完全解決了黎曼可積性的問題。
勒貝格積分可以推廣到無界函數(shù)的情形，這個時候所得積分是絕對收斂的，后來由推廣到積分可以不是絕對收斂的。 從這些就可以看出，勒貝格積分比起由柯西給出后來又由黎曼發(fā)揚的老積分定義廣大多了。
也可以看出，實變函數(shù)論所研究的是更為廣泛的函數(shù)類。 自從維爾斯特拉斯證明連續(xù)函數(shù)必定可以表示成一致收斂的多項式級數(shù)，人們就認清連續(xù)函數(shù)必定可以解析地表達出來，連續(xù)函數(shù)也必定可以用多項式來逼近。
這樣，在實變函數(shù)論的領域里又出現(xiàn)了逼近論的理論。 什么是逼近理論呢？舉例來說，如果能把 A類函數(shù)表示成 B類函數(shù)的極限，就說 A類函數(shù)能以 B類函數(shù)來逼近。
如果已經(jīng)掌握了 B類函數(shù)的某些性質，那么往往可以由此推出 A類函數(shù)的相應性質。 逼近論就是研究那一類函數(shù)可以用另一類函數(shù)來逼近、逼近的方法、逼近的程度和在逼近中出現(xiàn)的各種情況。
和逼近理論密切相關的有正交級數(shù)理論，三角級數(shù)就是一種正交級數(shù)。和逼近理論相關的還有一種理論，就是從某一類已知函數(shù)出發(fā)構造出新的函數(shù)類型的理論，這種理論叫做函數(shù)構造論。
總之，實變函數(shù)論和古典數(shù)學分析不同，它是一種比較高深精細的理論，是數(shù)學的一個重要分支，它的應用廣泛，它在數(shù)學各個分支的應用是現(xiàn)代數(shù)學的特征。 實變函數(shù)論不僅應用廣泛，是某些數(shù)學分支的基本工具，而且它的觀念和方法以及它在各個數(shù)學分支的應用，對形成近代數(shù)學的一般拓撲學和泛涵分析兩個重要分支有著極為重要的影響。
例子 實變：y=x+1,x屬于R 。
