判別可微方法(判斷可微的常用方法)
1.判斷可微的常用方法
1、若函數在某點(diǎn)可微分，則函數在該點(diǎn)必連續；
2、若二元函數在某點(diǎn)可微分，則該函數在該點(diǎn)對x和y的偏導數必存在。
3、若函數對x和y的偏導數在這點(diǎn)的某一鄰域內都存在，且均在這點(diǎn)連續，則該函數在這點(diǎn)可微。
設函數y= f(x)，若自變量在點(diǎn)x的改變量Δx與函數相應的改變量Δy有關(guān)系Δy=A*Δx+ο（Δx），其中A與Δx無(wú)關(guān)，則稱(chēng)函數f(x)在點(diǎn)x可微，并稱(chēng)AΔx為函數f(x)在點(diǎn)x的微分，記作dy，即dy=A*Δx，當x= x0時(shí)，則記作dy∣x=x0。
擴展資料
魏爾斯特拉斯函數連續，但在任一點(diǎn)都不可微。
若?在X0點(diǎn)可微，則?在該點(diǎn)必連續。特別的，所有可微函數在其定義域內任一點(diǎn)必連續。逆命題則不成立：一個(gè)連續函數未必可微。比如，一個(gè)有折點(diǎn)、尖點(diǎn)或垂直切線(xiàn)的函數可能是連續的，但在異常點(diǎn)不可微。
實(shí)踐中運用的函數大多在所有點(diǎn)可微，或幾乎處處可微。但斯特凡·巴拿赫聲稱(chēng)可微函數在所有函數構成的集合中卻是少數。這表示可微函數在連續函數中不具代表性。人們發(fā)現的第一個(gè)處處連續但處處不可微的函數是魏爾斯特拉斯函數。
參考資料來(lái)源：百度百科-可微函數
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2.怎樣判斷函數是否可微
1、函數可微的必要條件
若函數在某點(diǎn)可微分，則函數在該點(diǎn)必連續；
若二元函數在某點(diǎn)可微分，則該函數在該點(diǎn)對x和y的偏導數必存在。
2、函數可微的充分條件
若函數對x和y的偏導數在這點(diǎn)的某一鄰域內都存在，且均在這點(diǎn)連續，則該函數在這點(diǎn)可微。
擴展資料：
1、可微的幾何意義就是曲面被平面所截所得點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率。
2、若?在X0點(diǎn)可微，則?在該點(diǎn)必連續。特別的，所有可微函數在其定義域內任一點(diǎn)必連續。逆命題則不成立：一個(gè)連續函數未必可微。比如，一個(gè)有折點(diǎn)、尖點(diǎn)或垂直切線(xiàn)的函數可能是連續的，但在異常點(diǎn)不可微。
3、實(shí)踐中運用的函數大多在所有點(diǎn)可微，或幾乎處處可微。但斯特凡·巴拿赫聲稱(chēng)可微函數在所有函數構成的集合中卻是少數。這表示可微函數在連續函數中不具代表性。人們發(fā)現的第一個(gè)處處連續但處處不可微的函數是魏爾斯特拉斯函數。
參考資料來(lái)源：搜狗百科-可微
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3.函數可微的判斷
一、可以用可微的相關(guān)知識去判斷，但是如果題目不是要證明是否可微，對于某些不可微的函數是可以一眼就看出來(lái)的，而不用證明。
函數可微的直觀(guān)幾何解釋是函數圖象在該點(diǎn)是“光滑”的，即函數圖象不能是“尖點(diǎn)”，回憶一元函數y=|x|在x=0點(diǎn)的圖象是一個(gè)尖點(diǎn)，故這個(gè)函數在x=0處不可微。本題中二元函數的圖象是一個(gè)錐體，而（0,0）點(diǎn)對應的z是這個(gè)錐體的頂點(diǎn)，它是一個(gè)"尖點(diǎn)"，所以在該點(diǎn)不可微。
二、按定義，f(x,y)在（0,0）點(diǎn)可微就是要求lim[f(x,y)-f(0,0)-Ax-By]/√（x^2+y^2）=0(A,B是常數)，本題中這個(gè)極限表達式為lim[1-√（x^2+y^2）-1-Ax-By]/√（x^2+y^2）=1-lim(Ax+By)/√（x^2+y^2），令y=kx,
則lim(Ax+By)/√（x^2+y^2）=(A+Bk)/√（1+k^2），極限與k有關(guān)，故這個(gè)極限不存在，因此極限lim[1-√（x^2+y^2）-1-Ax-By]/√（x^2+y^2）也就不存在，故在原點(diǎn)不可微。
擴展資料：
魏爾斯特拉斯函數連續，但在任一點(diǎn)都不可微。
若?在X0點(diǎn)可微，則?在該點(diǎn)必連續。特別的，所有可微函數在其定義域內任一點(diǎn)必連續。逆命題則不成立：一個(gè)連續函數未必可微。比如，一個(gè)有折點(diǎn)、尖點(diǎn)或垂直切線(xiàn)的函數可能是連續的，但在異常點(diǎn)不可微。
實(shí)踐中運用的函數大多在所有點(diǎn)可微，或幾乎處處可微。但斯特凡·巴拿赫聲稱(chēng)可微函數在所有函數構成的集合中卻是少數。這表示可微函數在連續函數中不具代表性。人們發(fā)現的第一個(gè)處處連續但處處不可微的函數是魏爾斯特拉斯函數。
參考資料來(lái)源：百度百科-可微函數
4.如何判斷一個(gè)函數是否可微
極限的概念是整個(gè)微積分的基礎，需要深刻地理解，由極限的概念才能引出連續、導數、積分等概念。
極限的概念首先是從數列的極限引出的。對于任意小的正數e，如果存在自然數m，使所有n》m時(shí)，|a(n)-a|都小于e，則數列的極限為a。
極限不是相等，而是無(wú)限接近。而函數的極限是指在x0的一個(gè)臨域內（不包含x0這一點(diǎn)），如果對于任意小的正數e，都存在正數q，使所有（x0-q,x0+q）內的點(diǎn)，都滿(mǎn)足|f(x)-a|《e，則f(x)在x0點(diǎn)的極限為a。
很多求極限的題目都可以用極限的定義直接求出。 例如f(x)=(x^2-3x+2)/(x-2), x=2不在函數定義域內，但對于任何x不等于2,f(x)=x-1，因此在x無(wú)限接近2，但不等于2時(shí)，f(x)無(wú)限接近1，因此f(x)在2處的極限為1。
連續的概念。如果函數在x0的極限存在，函數在x0有定義，而且極限值等于函數值，則稱(chēng)f(x)在x0點(diǎn)連續。
以上的三個(gè)條件缺一不可。 在上例中，f(x)在x=2時(shí)極限存在，但在x=2這一點(diǎn)沒(méi)有定義，所以函數在x=2不連續； 如果我們定義f(2)=1，補上“缺口”，則函數在x=2變成連續的； 如果我們定義f(2)=3，雖然函數在x=2時(shí)，極限值和函數值都存在，但不相等，那么函數在x=2還是不連續。
由連續又引出了左極限、右極限和左連續、右連續的概念。函數值等于左極限為左連續，函數值等于右極限為右連續。
如果函數在x0點(diǎn)左右極限都存在，且都等于函數值，則函數在x=x0時(shí)連續。這個(gè)定義是解決分段函數連續問(wèn)題的最重要的、幾乎是唯一的方法。
如果函數在某個(gè)區間內每一點(diǎn)都連續，在區間的左右端點(diǎn)分別左右連續（對閉區間而言），則稱(chēng)函數在這個(gè)區間上連續。 導數的概念。
導數是函數的變化率，直觀(guān)地看是指切線(xiàn)的斜率。略有不同的是，切線(xiàn)可以平行于y軸，此時(shí)斜率為無(wú)窮大，因此導數不存在，但切線(xiàn)存在。
導數的求法也是一個(gè)極限的求法。對于x=x0，在x0附近另找一點(diǎn)x1，求x0與x1連線(xiàn)的斜率。
當x1無(wú)限靠近x0，但不與x0重合時(shí)，這兩點(diǎn)連線(xiàn)的斜率，就是f(x)在x=x0處的導數。關(guān)于導數的題目多數可用導數的定義直接解決。
教科書(shū)中給出了所有基本函數的導數公式，如果自己能用導數的定義都推導一遍，理解和記憶會(huì )更深刻。其中對數的導數公式推導中用到了重要極限：limx-->0 (1+x)^(1/x)=e。
導數同樣分為左導數和右導數。導數存在的條件是：f(x)在x=x0連續，左右導數存在且相等。
這個(gè)定義是解決分段函數可導問(wèn)題的最重要的、幾乎是唯一的方法。 如果函數在某個(gè)區間內每一點(diǎn)都可導，在區間的左右端點(diǎn)分別左右導數存在（對閉區間而言），則稱(chēng)函數在這個(gè)區間上可導。
復合函數的導數，例如f[u(x)]，是集合a中的自變量x，產(chǎn)生微小變化dx，引起集合b中對應數u的微小變化du,u的變化又引起集合c中的對應數f(u)的變化，則復合函數的導函數f'[u(x)]=df(u)/dx=df(u)/du * du/dx=f'(u)*u'(x) 導數在生活中的例子最常見(jiàn)的是距離與時(shí)間的關(guān)系。物體在極其微小的時(shí)間內，移動(dòng)了極其微小的距離，二者的比值就是物體在這一刻的速度。
對于自由落體運動(dòng)，下落距離s=1/2gt^2，則物體在時(shí)間t0的速度為v(t0)=[s(t0+a)-s(t0)]/a， 當a趨近于0時(shí)的值，等于gt0； 而速度隨時(shí)間的增加而增加，變化的比率g稱(chēng)為加速度。加速度是距離對時(shí)間的二階導數。
從直觀(guān)上看，可導意味著(zhù)光滑的、沒(méi)有尖角，因為在尖角處左右導數不相等。有笑話(huà)說(shuō)一位教授對學(xué)生抱怨道：“這飯館讓人怎么吃飯？你看這碗口，處處不可導！” 積分的概念。
從面積上理解，積分就是積少成多，把無(wú)限個(gè)面積趨近于0的線(xiàn)條，累積在一起，就成為大于0的面積。我們可以把一塊圖形分割為狹長(cháng)的長(cháng)方形（長(cháng)方形的高度都取函數在左端或右端的函數值），分別計算各個(gè)長(cháng)方形的面積再加總，可近似地得出圖形的面積。
當我們把長(cháng)方形的寬度設定得越來(lái)越窄，計算結果就越來(lái)越精確，與圖形實(shí)際面積的差距越來(lái)越小。如果函數的積分存在，則長(cháng)方形寬度趨近于0時(shí)，求出的長(cháng)方形面積總和的極限存在，且等于圖形的實(shí)際面積。
這里又是一個(gè)極限的概念。 如果函數存在不連續的點(diǎn)，但在該點(diǎn)左右極限都存在，函數仍是可積的。
只要間斷點(diǎn)的個(gè)數是有限的，則它們代表的線(xiàn)條面積總和為0，不影響計算結果。 在廣義積分中，允許函數在無(wú)限區間內積分，或某些點(diǎn)的函數值趨向無(wú)窮大，只要積分的極限存在，函數都是可積的。
嚴格地說(shuō)，我們只會(huì )計算長(cháng)方形的面積。從我們介紹的積分的求法看，我們實(shí)際上是把求面積化為了數列求和的問(wèn)題，即求數列的前n項和s(n)，在n趨近于無(wú)窮大時(shí)的極限。
很多時(shí)候，求積分和求無(wú)限數列的和是可以相互轉換的。當我們深刻地理解了積分的定義和熟練地掌握了積分公式之后，我們同樣可用它來(lái)解決相當棘手的數列求和問(wèn)題。
例如：求lim na正無(wú)窮大時(shí)，1/n*[1+1/(1+1/n)+1/(1+2/n)+。
+1/(1+(n-1)/n)+1/2]的值。
看似無(wú)從下手，可當我們把它轉化為一連串的小長(cháng)方形的面積之后，不禁會(huì )恍然大悟：這不是f(x)=1/x在[1,2]上的積分嗎？從而輕松得出結果為ln2。 除了基本的積分公式外，換元法和分步法是常用的積分方法。
換元積分法的實(shí)質(zhì)是把原函數化為形式簡(jiǎn)單的復合函數；分步積分法的要領(lǐng)是：在∫udv=uv-∫vdu中，。
5.怎樣判斷函數是否可微
一、函數可微的判斷
1、函數可微的必要條件
若函數在某點(diǎn)可微分，則函數在該點(diǎn)必連續；
若二元函數在某點(diǎn)可微分，則該函數在該點(diǎn)對x和y的偏導數必存在。
2、函數可微的充分條件
若函數對x和y的偏導數在這點(diǎn)的某一鄰域內都存在，且均在這點(diǎn)連續，則該函數在這點(diǎn)可微。
二、多元函數可微的條件
多元函數可微的充分必要條件是f(x,y)在點(diǎn)（x0,y0）的兩個(gè)偏導數都存在。
擴展資料：
微分的推導
設函數y = f(x)在某區間內有定義，x0及x0+△x在這區間內，若函數的增量Δy = f(x0 + Δx) ? f(x0)可表示為Δy = AΔx + o（Δx），其中A是不依賴(lài)于△x的常數， o（Δx）是△x的高階無(wú)窮小，則稱(chēng)函數y = f(x)在點(diǎn)x0是可微的。
AΔx叫做函數在點(diǎn)x0相應于自變量增量△x的微分，記作dy，即：dy=AΔx。微分dy是自變量改變量△x的線(xiàn)性函數，dy與△y的差是關(guān)于△x的高階無(wú)窮小量，我們把dy稱(chēng)作△y的線(xiàn)性主部。
得出： 當△x→0時(shí)，△y≈dy。
導數的記號為：（dy）/(dx)=f′（X），我們可以發(fā)現，它不僅表示導數的記號，而且還可以表示兩個(gè)微分的比值（把△x看成dx，即：定義自變量的增量等于自變量的微分），還可表示為dy=f′（X）dX。
參考資料來(lái)源：百度百科-可微性
