哪些方法可以證明勾股定理(勾股定理的證明方法有那些)
1.勾股定理的證明方法有那些
勾股定理的證明：在這數百種證明方法中，有的十分精彩，有的十分簡(jiǎn)潔，有的因為證明者身份的特殊而非常著(zhù)名。
首先介紹勾股定理的兩個(gè)最為精彩的證明，據說(shuō)分別來(lái)源于中國和希臘。 1.中國方法：畫(huà)兩個(gè)邊長(cháng)為（a+b）的正方形，如圖，其中a、b為直角邊，c為斜邊。
這兩個(gè)正方形全等，故面積相等。 左圖與右圖各有四個(gè)與原直角三角形全等的三角形，左右四個(gè)三角形面積之和必相等。
從左右兩圖中都把四個(gè)三角形去掉，圖形剩下部分的面積必相等。左圖剩下兩個(gè)正方形，分別以a、b為邊。
右圖剩下以c為邊的正方形。于是 a^2+b^2=c^2。
這就是我們幾何教科書(shū)中所介紹的方法。既直觀(guān)又簡(jiǎn)單，任何人都看得懂。
2.希臘方法：直接在直角三角形三邊上畫(huà)正方形，如圖。 容易看出， △ABA' ≌△AA'C 。
過(guò)C向A''B''引垂線(xiàn)，交AB于C'，交A''B''于C''。 △ABA'與正方形ACDA'同底等高，前者面積為后者面積的一半，△AA''C與矩形AA''C''C'同底等高，前者的面積也是后者的一半。
由△ABA'≌△AA''C，知正方形ACDA'的面積等于矩形AA''C''C'的面積。同理可得正方形BB'EC的面積等于矩形B''BC'C''的面積。
于是， S正方形AA''B''B=S正方形ACDA'+S正方形BB'EC， 即 a2+b2=c2。 至于三角形面積是同底等高的矩形面積之半，則可用割補法得到（請讀者自己證明）。
這里只用到簡(jiǎn)單的面積關(guān)系，不涉及三角形和矩形的面積公式。 這就是希臘古代數學(xué)家歐幾里得在其《幾何原本》中的證法。
以上兩個(gè)證明方法之所以精彩，是它們所用到的定理少，都只用到面積的兩個(gè)基本觀(guān)念： ⑴ 全等形的面積相等； ⑵ 一個(gè)圖形分割成幾部分，各部分面積之和等于原圖形的面積。 這是完全可以接受的樸素觀(guān)念，任何人都能理解。
我國歷代數學(xué)家關(guān)于勾股定理的論證方法有多種，為勾股定理作的圖注也不少，其中較早的是趙爽（即趙君卿）在他附于《周髀算經(jīng)》之中的論文《勾股圓方圖注》中的證明。采用的是割補法： 如圖，將圖中的四個(gè)直角三角形涂上朱色，把中間小正方形涂上黃色，叫做中黃實(shí)，以弦為邊的正方形稱(chēng)為弦實(shí)，然后經(jīng)過(guò)拼補搭配，“令出入相補，各從其類(lèi)”，他肯定了勾股弦三者的關(guān)系是符合勾股定理的。
即“勾股各自乘，并之為弦實(shí)，開(kāi)方除之，即弦也”。 趙爽對勾股定理的證明，顯示了我國數學(xué)家高超的證題思想，較為簡(jiǎn)明、直觀(guān)。
西方也有很多學(xué)者研究了勾股定理，給出了很多證明方法，其中有文字記載的最早的證明是畢達哥拉斯給出的。據說(shuō)當他證明了勾股定理以后，欣喜若狂，殺牛百頭，以示慶賀。
故西方亦稱(chēng)勾股定理為“百牛定理”。遺憾的是，畢達哥拉斯的證明方法早已失傳，我們無(wú)從知道他的證法。
下面介紹的是美國第二十任總統伽菲爾德對勾股定理的證明。 如圖， S梯形ABCD= (a+b)2 = (a2+2ab+b2)， ① 又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED = ab+ ba+ c2 = (2ab+c2)。
② 比較以上二式，便得 a2+b2=c2。 這一證明由于用了梯形面積公式和三角形面積公式，從而使證明相當簡(jiǎn)潔。
1876年4月1日，伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對勾股定理的這一證明。5年后，伽菲爾德就任美國第二十任總統。
后來(lái)，人們?yōu)榱思o念他對勾股定理直觀(guān)、簡(jiǎn)捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱(chēng)為勾股定理的“總統”證法，這在數學(xué)史上被傳為佳話(huà)。 在學(xué)習了相似三角形以后，我們知道在直角三角形中，斜邊上的高把這個(gè)直角三角形所分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似。
如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°。作CD⊥BC，垂足為D。
則 △BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。 由△BCD∽△BAC可得BC2=BD ? BA， ① 由△CAD∽△BAC可得AC2=AD ? AB。
② 我們發(fā)現，把①、②兩式相加可得 BC2+AC2=AB(AD+BD)， 而AD+BD=AB， 因此有 BC2+AC2=AB2，這就是 a2+b2=c2。 這也是一種證明勾股定理的方法，而且也很簡(jiǎn)潔。
它利用了相似三角形的知識。 在對勾股定理為數眾多的證明中，人們也會(huì )犯一些錯誤。
如有人給出了如下證明勾股定理的方法： 設△ABC中，∠C=90°，由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC， 因為∠C=90°，所以cosC=0。所以 a2+b2=c2。
這一證法，看來(lái)正確，而且簡(jiǎn)單，實(shí)際上卻犯了循環(huán)證論的錯誤。原因是余弦定理的證明來(lái)自勾股定理。
人們對勾股定理感興趣的原因還在于它可以作推廣。 歐幾里得在他的《幾何原本》中給出了勾股定理的推廣定理：“直角三角形斜邊上的一個(gè)直邊形，其面積為兩直角邊上兩個(gè)與之相似的直邊形面積之和”。
從上面這一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三邊為直徑作圓，則以斜邊為直徑所作圓的面積等于以?xún)芍苯沁厼橹睆剿鲀蓤A的面積和”。 勾股定理還可以推廣到空間：以直角三角形的三邊為對應棱作相似多面體，則斜邊上的多面體的表面積等于直角邊上兩個(gè)多面體表面積之和。
若以直角三角形的三邊為直徑分別作球，則斜邊上的球的表面積等于兩直角邊上所作二球表面積之和。 如此等等。
另：八年級數學(xué)勾股定理的證明（介紹16種證明的方法）（數學(xué)教案） /。
2.勾股定理5種證明方法
魅力無(wú)比的定理證明 ——勾股定理的證明 勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，所以它充滿(mǎn)魅力，千百年來(lái)，人們對它的證明趨之若騖，其中有著(zhù)名的數學(xué)家，也有業(yè)余數學(xué)愛(ài)好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權貴，甚至有國家總統。
也許是因為勾股定理既重要又簡(jiǎn)單，更容易吸引人，才使它成百次地反復被人炒作，反復被人論證。1940年出版過(guò)一本名為《畢達哥拉斯命題》的勾股定理的證明專(zhuān)輯，其中收集了367種不同的證明方法。
實(shí)際上還不止于此，有資料表明，關(guān)于勾股定理的證明方法已有500余種，僅我國清末數學(xué)家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。這是任何定理無(wú)法比擬的。
在這數百種證明方法中，有的十分精彩，有的十分簡(jiǎn)潔，有的因為證明者身份的特殊而非常著(zhù)名。首先介紹勾股定理的兩個(gè)最為精彩的證明，據說(shuō)分別來(lái)源于中國和希臘。
1.中國方法 畫(huà)兩個(gè)邊長(cháng)為（a+b）的正方形，如圖，其中a、b為直角邊，c為斜邊。這兩個(gè)正方形全等，故面積相等。
左圖與右圖各有四個(gè)與原直角三角形全等的三角形，左右四個(gè)三角形面積之和必相等。從左右兩圖中都把四個(gè)三角形去掉，圖形剩下部分的面積必相等。
左圖剩下兩個(gè)正方形，分別以a、b為邊。右圖剩下以c為邊的正方形。
于是 a2+b2=c2。這就是我們幾何教科書(shū)中所介紹的方法。
既直觀(guān)又簡(jiǎn)單，任何人都看得懂。2.希臘方法 直接在直角三角形三邊上畫(huà)正方形，如圖。
容易看出，△ABA' ≌△AA'' C。過(guò)C向A''B''引垂線(xiàn)，交AB于C'，交A''B''于C''。
△ABA'與正方形ACDA'同底等高，前者面積為后者面積的一半，△AA''C與矩形AA''C''C'同底等高，前者的面積也是后者的一半。由△ABA'≌△AA''C，知正方形ACDA'的面積等于矩形AA''C''C'的面積。
同理可得正方形BB'EC的面積等于矩形B''BC'C''的面積。于是，S正方形AA''B''B=S正方形ACDA'+S正方形BB'EC，即 a2+b2=c2。
至于三角形面積是同底等高的矩形面積之半，則可用割補法得到（請讀者自己證明）。這里只用到簡(jiǎn)單的面積關(guān)系，不涉及三角形和矩形的面積公式。
這就是希臘古代數學(xué)家歐幾里得在其《幾何原本》中的證法。以上兩個(gè)證明方法之所以精彩，是它們所用到的定理少，都只用到面積的兩個(gè)基本觀(guān)念：⑴ 全等形的面積相等； ⑵ 一個(gè)圖形分割成幾部分，各部分面積之和等于原圖形的面積。
這是完全可以接受的樸素觀(guān)念，任何人都能理解。我國歷代數學(xué)家關(guān)于勾股定理的論證方法有多種，為勾股定理作的圖注也不少，其中較早的是趙爽（即趙君卿）在他附于《周髀算經(jīng)》之中的論文《勾股圓方圖注》中的證明。
采用的是割補法：如圖，將圖中的四個(gè)直角三角形涂上朱色，把中間小正方形涂上黃色，叫做中黃實(shí)，以弦為邊的正方形稱(chēng)為弦實(shí)，然后經(jīng)過(guò)拼補搭配，“令出入相補，各從其類(lèi)”，他肯定了勾股弦三者的關(guān)系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之為弦實(shí)，開(kāi)方除之，即弦也”。
趙爽對勾股定理的證明，顯示了我國數學(xué)家高超的證題思想，較為簡(jiǎn)明、直觀(guān)。西方也有很多學(xué)者研究了勾股定理，給出了很多證明方法，其中有文字記載的最早的證明是畢達哥拉斯給出的。
據說(shuō)當他證明了勾股定理以后，欣喜若狂，殺牛百頭，以示慶賀。故西方亦稱(chēng)勾股定理為“百牛定理”。
遺憾的是，畢達哥拉斯的證明方法早已失傳，我們無(wú)從知道他的證法。下面介紹的是美國第二十任總統伽菲爾德對勾股定理的證明。
如圖，S梯形ABCD= (a+b)2= (a2+2ab+b2)， ① 又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED= ab+ ba+ c2= (2ab+c2)。 ② 比較以上二式，便得 a2+b2=c2。
這一證明由于用了梯形面積公式和三角形面積公式，從而使證明相當簡(jiǎn)潔。1876年4月1日，伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對勾股定理的這一證明。
5年后，伽菲爾德就任美國第二十任總統。后來(lái)，人們?yōu)榱思o念他對勾股定理直觀(guān)、簡(jiǎn)捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱(chēng)為勾股定理的“總統”證法，這在數學(xué)史上被傳為佳話(huà)。
在學(xué)習了相似三角形以后，我們知道在直角三角形中，斜邊上的高把這個(gè)直角三角形所分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似。如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°。
作CD⊥BC，垂足為D。則 △BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。
由△BCD∽△BAC可得BC2=BD ? BA， ① 由△CAD∽△BAC可得AC2=AD ? AB。 ② 我們發(fā)現，把①、②兩式相加可得 BC2+AC2=AB(AD+BD)，而AD+BD=AB，因此有 BC2+AC2=AB2，這就是 a2+b2=c2。
這也是一種證明勾股定理的方法，而且也很簡(jiǎn)潔。它利用了相似三角形的知識。
在對勾股定理為數眾多的證明中，人們也會(huì )犯一些錯誤。如有人給出了如下證明勾股定理的方法：設△ABC中，∠C=90°，由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC，因為∠C=90°，所以cosC=0。
所以 a2+b2=c2。這一證法，看來(lái)正確，而且簡(jiǎn)單，實(shí)際上卻犯了循環(huán)證論的錯誤。
原因是余弦定理的證明來(lái)自勾股定理。人們對勾股定理感興趣的原因還在于它可以作推廣。
歐幾里得在他的《幾何原本》中給出了勾股定理的推廣定理：“直角三角形斜邊上的一個(gè)直邊形，其。
3.勾股定理的最簡(jiǎn)單的證明方法是什么
簡(jiǎn)單的勾股定理的證明方法如下：
拓展資料：
勾股定理的使用方法：
1、確保三角形是直角三角形。 勾股定理只適用于直角三角形中，所以，在應用定理之前，你需要先確定三角形是否是直角三角形，這一點(diǎn)非常重要。幸好，區分直接三角形和別的三角形的方法只有一個(gè)，那就是看一個(gè)三角形中是否有一個(gè)90度的角。
2、確定變量a,b,c對應的三角形的邊。在勾股定理中，a,b表示直角三角形的兩條直角邊，而c用來(lái)表示斜邊，即直角對應的那條最長(cháng)的邊。所以，先給兩條直角邊分別標注上a,b（具體的對應關(guān)系沒(méi)有要求），而斜邊標注上c。
3、確定你所要求的邊。使用勾股定理可以求出直角三角形的任意一條邊的長(cháng)度，但前提是知道另外兩條邊的長(cháng)度。先確定哪一條邊的長(cháng)度是未知的——a,b或者c。
4、代入。將兩條已知邊的長(cháng)度帶入到公式a2 + b2 = c2中，其中a和b對應的是兩直角邊的長(cháng)度，而c代表斜邊長(cháng)度。在上面的例子中，我們知道一條直角邊和斜邊的長(cháng)度（3和5），然后將3和5代入到公式中，有32 + b2 = 2。
5、計算平方。首先，計算兩條已知邊長(cháng)度的平方值。或者，你也可以先不計算出來(lái)，然后保留平方，帶到式子中直接計算平方和。在上述例子中，3和5的平方分別是9和25，所以方程可以改寫(xiě)為9 + b2 = 25。
6、將未知變量移到等號一邊。如果有必要的話(huà)，運用基本的代數操作，將未知變量移動(dòng)到等號一側，而將已知變量移動(dòng)到等號的另一側。如果你要求的是斜邊長(cháng)，那么就不需要再移動(dòng)變量了。在上述例子中，方程式是9 + b2 = 25。兩邊同時(shí)減去9，等式變?yōu)閎2= 16。
7、求開(kāi)方。現在等式兩邊一邊是數字，另一邊是變量，然后同時(shí)求兩邊的平方根。在上述例子中b2 = 16，兩邊同時(shí)求平方根，有b = 4。因此，未知邊的長(cháng)度就是4。
參考資料來(lái)源：搜狗百科-勾股定理
