常用的過(guò)程數學(xué)模型的建立方法包括哪些(常見(jiàn)的建立數學(xué)模型的方法有哪幾種)
1.常見(jiàn)的建立數學(xué)模型的方法有哪幾種
—般說(shuō)來(lái)建立數學(xué)模型的方法大體上可分為兩大類(lèi)、一類(lèi)是機理分析方法，一類(lèi)是測試分析方法.機理分析是根據對現實(shí)對象特性的認識、分析其因果關(guān)系，找出反映內部機理的規律，建立的模型常有明確的物理或現實(shí)意義.
模型準備 首先要了解問(wèn)題的實(shí)際背景，明確建模的目的搜集建模必需的各種信息如現象、數據等，盡量弄清對象的特征，由此初步確定用哪一類(lèi)模型，總之是做好建模的準備工作.情況明才能方法對，這一步一定不能忽視，碰到問(wèn)題要虛心向從事實(shí)際工作的同志請教，盡量掌握第一手資料.
模型假設 根據對象的特征和建模的目的，對問(wèn)題進(jìn)行必要的、合理的簡(jiǎn)化，用精確的語(yǔ)言做出假設，可以說(shuō)是建模的關(guān)鍵一步.一般地說(shuō)，一個(gè)實(shí)際問(wèn)題不經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化假設就很難翻譯成數學(xué)問(wèn)題，即使可能，也很難求解.不同的簡(jiǎn)化假設會(huì )得到不同的模型.假設作得不合理或過(guò)份簡(jiǎn)單，會(huì )導致模型失敗或部分失敗，于是應該修改和補充假設；假設作得過(guò)分詳細，試圖把復雜對象的各方面因素都考慮進(jìn)去，可能使你很難甚至無(wú)法繼續下一步的工作.通常，作假設的依據，一是出于對問(wèn)題內在規律的認識，二是來(lái)自對數據或現象的分析，也可以是二者的綜合.作假設時(shí)既要運用與問(wèn)題相關(guān)的物理、化學(xué)、生物、經(jīng)濟等方面的知識，又要充分發(fā)揮想象力、洞察力和判斷力，善于辨別問(wèn)題的主次，果斷地抓住主要因素，舍棄次要因素，盡量將問(wèn)題線(xiàn)性化、均勻化.經(jīng)驗在這里也常起重要作用.寫(xiě)出假設時(shí)，語(yǔ)言要精確，就象做習題時(shí)寫(xiě)出已知條件那樣.
模型構成 根據所作的假設分析對象的因果關(guān)系，利用對象的內在規律和適當的數學(xué)工具，構造各個(gè)量（常量和變量）之間的等式（或不等式）關(guān)系或其他數學(xué)結構.這里除需要一些相關(guān)學(xué)科的專(zhuān)門(mén)知識外，還常常需要較廣闊的應用數學(xué)方面的知識，以開(kāi)拓思路.當然不能要求對數學(xué)學(xué)科門(mén)門(mén)精通，而是要知道這些學(xué)科能解決哪一類(lèi)問(wèn)題以及大體上怎樣解決.相似類(lèi)比法，即根據不同對象的某些相似性，借用已知領(lǐng)域的數學(xué)模型，也是構造模型的一種方法.建模時(shí)還應遵循的一個(gè)原則是，盡量采用簡(jiǎn)單的數學(xué)工具，因為你建立的模型總是希望能有更多的人了解和使用，而不是只供少數專(zhuān)家欣賞.
模型求解 可以采用解方程、畫(huà)圖形、證明定理、邏輯運算、數值計算等各種傳統的和近代的數學(xué)方法，特別是計算機技術(shù).
模型分析 對模型解答進(jìn)行數學(xué)上的分析，有時(shí)要根據問(wèn)題的性質(zhì)分析變量間的依賴(lài)關(guān)系或穩定狀況，有時(shí)是根據所得結果給出數學(xué)上的預報，有時(shí)則可能要給出數學(xué)上的最優(yōu)決策或控制，不論哪種情況還常常需要進(jìn)行誤差分析、模型對數據的穩定性或靈敏性分析等.
模型檢驗 把數學(xué)上分析的結果翻譯回到實(shí)際問(wèn)題，并用實(shí)際的現象、數據與之比較，檢驗模型的合理性和適用性.這一步對于建模的成敗是非常重要的，要以嚴肅認真的態(tài)度來(lái)對待.當然，有些模型如核戰爭模型就不可能要求接受實(shí)際的檢驗了.模型檢驗的結果如果不符合或者部分不符合實(shí)際，問(wèn)題通常出在模型假設上，應該修改、補充假設，重新建模.有些模型要經(jīng)過(guò)幾次反復，不斷完善，直到檢驗結果獲得某種程度上的滿(mǎn)意.
模型應用 應用的方式自然取決于問(wèn)題的性質(zhì)和建模的目的，這方面的內容不是本書(shū)討論的范圍。
應當指出，并不是所有建模過(guò)程都要經(jīng)過(guò)這些步驟，有時(shí)各步驟之間的界限也不那么分明.建模時(shí)不應拘泥于形式上的按部就班，本書(shū)的建模實(shí)例就采取了靈活的表述方式
2.建立數學(xué)模型的方法和步驟
第一、模型準備 首先要了解問(wèn)題的實(shí)際背景，明確建模目的，搜集必需的各種信息，盡量弄清對象的特征。
第二、模型假設 根據對象的特征和建模目的，對問(wèn)題進(jìn)行必要的、合理的簡(jiǎn)化，用精確的語(yǔ)言作出假設，是建模至關(guān)重要的一步。如果對問(wèn)題的所有因素一概考慮，無(wú)疑是一種有勇氣但方法欠佳的行為，所以高超的建模者能充分發(fā)揮想象力、洞察力和判斷力，善于辨別主次，而且為了使處理方法簡(jiǎn)單，應盡量使問(wèn)題線(xiàn)性化、均勻化。
第三、模型構成 根據所作的假設分析對象的因果關(guān)系，利用對象的內在規律和適當的數學(xué)工具，構造各個(gè)量間的等式關(guān)系或其它數學(xué)結構。這時(shí)，我們便會(huì )進(jìn)入一個(gè)廣闊的應用數學(xué)天地，這里在高數、概率老人的膝下，有許多可愛(ài)的孩子們，他們是圖論、排隊論、線(xiàn)性規劃、對策論等許多許多，真是泱泱大國，別有洞天。
不過(guò)我們應當牢記，建立數學(xué)模型是為了讓更多的人明了并能加以應用，因此工具愈簡(jiǎn)單愈有價(jià)值。 第四、模型求解 可以采用解方程、畫(huà)圖形、證明定理、邏輯運算、數值運算等各種傳統的和近代的數學(xué)方法，特別是計算機技術(shù)。
一道實(shí)際問(wèn)題的解決往往需要紛繁的計算，許多時(shí)候還得將系統運行情況用計算機模擬出來(lái)，因此編程和熟悉數學(xué)軟件包能力便舉足輕重。 第五、模型分析 對模型解答進(jìn)行數學(xué)上的分析。
"橫看成嶺側成峰，遠近高低各不"。能否對模型結果作出細致精當的分析，決定了你的模型能否達到更高的檔次。
還要記住，不論那種情況都需進(jìn)行誤差分析，數據穩定性分析。
3.模型建立的方法和步驟
一、模型建立的方法 GMS軟件有三種建立確定性模型的方法，包括概念模型法、網(wǎng)格法和Solids法。
本書(shū)中所選擇的方法為Solids法。不管是利用網(wǎng)格法或者概念模型法建模，對含水層結構進(jìn)行合理的概化是其中一個(gè)重要環(huán)節，所建模型的準確性很大程度上取決于對實(shí)際水文地質(zhì)條件的正確判斷。
若輕視對具體水文地質(zhì)條件的研究，過(guò)多依賴(lài)模擬技術(shù)建立的模型，通常與實(shí)際問(wèn)題相差甚遠，也沒(méi)有使用價(jià)值（魏加華等，2003）。當地層出現尖滅、垂向上具有多元結構、水文地質(zhì)條件比較復雜時(shí)，前兩種方法不能準確描述此類(lèi)地層結構，也不能驗證基于地質(zhì)統計學(xué)插值求得的含水層頂底板高程是否與實(shí)際的鉆孔資料相符。
GMS中的實(shí)體模塊Solids利用鉆孔資料可以建立地層的三維結構可視化模型，Solids模型定義了地層結構的空間分布，可以切割生成三維顯示任意方向的地層剖面（王麗霞等，2011）。二、模型建立的步驟 利用Solids建模的步驟：（1）在鉆孔模塊（borehole）中定義鉆孔的坐標位置及垂向上的層位（horizon）。
層位即不同地層的交線(xiàn)或巖性分界線(xiàn)。由于地層沉積通常是連續的，因此層位按照一定的次序排列。
然而實(shí)際地層一般比較復雜，鉆孔資料常出現地層缺失現象，遇到此種情況，將缺失的層位空出，使Solids得到的剖面和實(shí)際地層剖面相符合。（2）根據實(shí)際的鉆孔資料將相應的層位用弧線(xiàn)連接，同時(shí)注意地層尖滅的標示。
層位連接后生成不同多邊形，每個(gè)多邊形表示相應的地層或巖性。（3）在地圖模塊Maps中定義不規則三角網(wǎng)格TIN，來(lái)表示地層單元插值的表面邊界。
（4）在實(shí)體模塊Solids選擇恰當的插值方法，由horizons生成其相應地層的Solids。如果有N個(gè)horizons則有N-1個(gè)Solids,Solids生成后即可以在模型上切割任意剖面來(lái)檢驗模型的三維空間結構。
（5）根據Solids數來(lái)確定所需網(wǎng)格的最小層數，生成三維網(wǎng)格并進(jìn)行MODFLOW的初始化。將Solids記錄的地層空間信息轉成MODFLOW中含水層的頂底板標高，至此地下水三維空間結構模型建立完成。
三、建模過(guò)程中可能遇到的問(wèn)題及解決方法 地下水三維可視化模型建立，首先要基本查明灌區的水文地質(zhì)條件。了解灌區的地貌、地質(zhì)條件、構造發(fā)育、各地層厚度等信息，需要收集和整理地下水的相關(guān)資料，包括灌區水文地質(zhì)報告、構造圖、地質(zhì)地貌圖、水文地質(zhì)剖面圖、電子版地理底圖、等高線(xiàn)圖、含水層頂底板高程等值線(xiàn)圖以及鉆孔數據資料等。
再結合水文地質(zhì)條件對含水層資料進(jìn)行整理和概化。利用GMS建立地下水三維可視化模型時(shí)，尤其是在大區域建模中，可能出現3類(lèi)問(wèn)題（張永波等，2007；孫紅梅等，2008）。
1.由于鉆孔分布不均勻而導致的地層缺失 在大區域建模中，由于研究區范圍較大，各部分研究程度不同，一般會(huì )引起鉆孔分布的不均勻。通過(guò)不均勻分布的鉆孔資料建立水文地質(zhì)結構模型，可能致使部分地層產(chǎn)生缺失，導致結構模型失真。
另外，鉆孔分布均勻程度是一個(gè)相對概念，對于地形平緩、地層結構相對簡(jiǎn)單的地區，少量鉆孔基本可以比較清楚地反映地層結構；對于地形起伏較大、地層結構比較復雜、構造比較發(fā)育的地區，需要較多的有效鉆孔，才可能準確揭示地層分布及構造發(fā)育狀況，然而實(shí)際工作中完全實(shí)現是不可能的。對于此種問(wèn)題，根據研究區的地質(zhì)地貌圖、構造分布圖及前人繪制的剖面圖，對已有的鉆孔數據資料進(jìn)行分析和整理，在具有控制點(diǎn)作用的位置可以適當虛擬部分鉆孔數據或者各層面的高程數據，以準確反映該區域地層結構和構造。
采用擴充后的鉆孔數據資料建立水文地質(zhì)結構模型，可以彌補由于鉆孔資料缺乏而導致的部分地層的缺失。2.由于鉆孔不夠深而引起的下伏地層抬升 在鉆探工作中，往往有些鉆孔深度不夠，不能完整地揭露地層。
根據這樣的鉆孔數據建立水文地質(zhì)結構模型時(shí)，系統默認將鉆孔底部的標高作為上一層的底部界面。這樣就造成下伏地層的抬升。
對于這種情況，根據前人繪制的地層等厚度線(xiàn)及剖面圖，結合四周鉆孔數據對該鉆孔資料進(jìn)行修正，修正后的鉆孔資料可以比較準確地反映地層結構。采用修正后的數據資料建立水文地質(zhì)結構模型，可以有效地控制下伏地層的抬升。
3.由于鉆孔資料過(guò)細而引起的地層混雜 在野外紀錄的鉆孔資料中，局部有透鏡體形成的地層，透鏡體分布的連續性相對較差。采用過(guò)細的資料建模，計算機不能分辨透鏡體及連續地層，容易出現地層混雜，即將某個(gè)鉆孔的透鏡體地層和另一個(gè)或其他幾個(gè)鉆孔的連續地層分界面相連接，導致生成錯誤的地層結構。
對于這種情況，根據該區域剖面圖整理資料時(shí)，將透鏡體區分出來(lái)，忽略較小的透鏡體，針對較大的透鏡體則另外生成地層結構。此外，在插值計算中，由于計算方法的不同，產(chǎn)生的結果也許會(huì )有很大差異，這需要在進(jìn)行插值計算時(shí)，根據不同的具體條件選擇適當的插值方法。
4.數學(xué)建模的基本過(guò)程有哪些
數學(xué)建模應當掌握的十類(lèi)算法 ?? 1、蒙特卡羅算法（該算法又稱(chēng)隨機性模擬算法，是通過(guò)計算機仿真來(lái)解決問(wèn)題的算 法，同時(shí)可以通過(guò)模擬可以來(lái)檢驗自己模型的正確性，是比賽時(shí)必用的方法） 2、數據擬合、參數估計、插值等數據處理算法（比賽中通常會(huì )遇到大量的數據需要 處理，而處理數據的關(guān)鍵就在于這些算法，通常使用Matlab作為工具） 3、線(xiàn)性規劃、整數規劃、多元規劃、二次規劃等規劃類(lèi)問(wèn)題（建模競賽大多數問(wèn)題 屬于最優(yōu)化問(wèn)題，很多時(shí)候這些問(wèn)題可以用數學(xué)規劃算法來(lái)描述，通常使用Lindo、Lingo軟件實(shí)現） 4、圖論算法（這類(lèi)算法可以分為很多種，包括最短路、網(wǎng)絡(luò )流、二分圖等算法，涉 及到圖論的問(wèn)題可以用這些方法解決，需要認真準備） 5、動(dòng)態(tài)規劃、回溯搜索、分治算法、分支定界等計算機算法（這些算法是算法設計 中比較常用的方法，很多場(chǎng)合可以用到競賽中） 6、最優(yōu)化理論的三大非經(jīng)典算法：模擬退火法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò )、遺傳算法（這些問(wèn)題是 用來(lái)解決一些較困難的最優(yōu)化問(wèn)題的算法，對于有些問(wèn)題非常有幫助，但是算法的實(shí) 現比較困難，需慎重使用） 7、網(wǎng)格算法和窮舉法（網(wǎng)格算法和窮舉法都是暴力搜索最優(yōu)點(diǎn)的算法，在很多競賽 題中有應用，當重點(diǎn)討論模型本身而輕視算法的時(shí)候，可以使用這種暴力方案，最好 使用一些高級語(yǔ)言作為編程工具） 8、一些連續離散化方法（很多問(wèn)題都是實(shí)際來(lái)的，數據可以是連續的，而計算機只 認的是離散的數據，因此將其離散化后進(jìn)行差分代替微分、求和代替積分等思想是非 常重要的） 9、數值分析算法（如果在比賽中采用高級語(yǔ)言進(jìn)行編程的話(huà)，那一些數值分析中常 用的算法比如方程訂粻斥救儷嚼籌楔船盲組求解、矩陣運算、函數積分等算法就需要額外編寫(xiě)庫函數進(jìn)行調 用） 10、圖象處理算法（賽題中有一類(lèi)問(wèn)題與圖形有關(guān)，即使與圖形無(wú)關(guān)，論文中也應該 要不乏圖片的，這些圖形如何展示以及如何處理就是需要解決的問(wèn)題，通常使用Matlab 進(jìn)行處理）。
5.數學(xué)建模的方法有哪些
這是網(wǎng)上copy來(lái)的，寫(xiě)得還不錯：要重點(diǎn)突破：1 預測模塊：灰色預測、時(shí)間序列預測、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò )預測、曲線(xiàn)擬合（線(xiàn)性回歸）；2 歸類(lèi)判別：歐氏距離判別、fisher判別等 ；3 圖論：最短路徑求法 ；4 最優(yōu)化：列方程組 用lindo 或 lingo軟件解 ；5 其他方法：層次分析法 馬爾可夫鏈 主成分析法 等 ；6 用到軟件：matlab lindo (lingo) excel ;7 比賽前寫(xiě)幾篇數模論文。
這是每年參賽的賽提以及獲獎作品的解法，你自己估量著(zhù)吧…… 賽題 解法 93A非線(xiàn)性交調的頻率設計 擬合、規劃 93B足球隊排名 圖論、層次分析、整數規劃 94A逢山開(kāi)路 圖論、插值、動(dòng)態(tài)規劃 94B鎖具裝箱問(wèn)題 圖論、組合數學(xué) 95A飛行管理問(wèn)題 非線(xiàn)性規劃、線(xiàn)性規劃 95B天車(chē)與冶煉爐的作業(yè)調度 動(dòng)態(tài)規劃、排隊論、圖論 96A最優(yōu)捕魚(yú)策略 微分方程、優(yōu)化 96B節水洗衣機 非線(xiàn)性規劃 97A零件的參數設計 非線(xiàn)性規劃 97B截斷切割的最優(yōu)排列 隨機模擬、圖論 98A一類(lèi)投資組合問(wèn)題 多目標優(yōu)化、非線(xiàn)性規劃 98B災情巡視的最佳路線(xiàn) 圖論、組合優(yōu)化 99A自動(dòng)化車(chē)床管理 隨機優(yōu)化、計算機模擬 99B鉆井布局 0-1規劃、圖論 00A DNA序列分類(lèi) 模式識別、Fisher判別、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò ) 00B鋼管訂購和運輸 組合優(yōu)化、運輸問(wèn)題 01A血管三維重建 曲線(xiàn)擬合、曲面重建 01B 工交車(chē)調度問(wèn)題 多目標規劃 02A車(chē)燈線(xiàn)光源的優(yōu)化 非線(xiàn)性規劃 02B彩票問(wèn)題 單目標決策 03A SARS的傳播 微分方程、差分方程 03B 露天礦生產(chǎn)的車(chē)輛安排 整數規劃、運輸問(wèn)題 04A奧運會(huì )臨時(shí)超市網(wǎng)點(diǎn)設計 統計分析、數據處理、優(yōu)化 04B電力市場(chǎng)的輸電阻塞管理 數據擬合、優(yōu)化 05A長(cháng)江水質(zhì)的評價(jià)和預測 預測評價(jià)、數據處理 05B DVD在線(xiàn)租賃 隨機規劃、整數規劃 算法的設計的好壞將直接影響運算速度的快慢，建議多用數學(xué)軟件（ Mathematice,Matlab,Maple, Mathcad,Lindo,Lingo,SAS 等），這里提供十種數學(xué) 建模常用算法，僅供參考： 1、蒙特卡羅算法（該算法又稱(chēng)隨機性模擬算法，是通過(guò)計算機仿真來(lái)解決 問(wèn)題的算法，同時(shí)可以通過(guò)模擬可以來(lái)檢驗自己模型的正確性，是比賽時(shí)必 用的方法） 2、數據擬合、參數估計、插值等數據處理算法（比賽中通常會(huì )遇到大量的數 據需要處理，而處理數據的關(guān)鍵就在于這些算法，通常使用Matlab 作為工具） 3、線(xiàn)性規劃、整數規劃、多元規劃、二次規劃等規劃類(lèi)問(wèn)題（建模競賽大多 數問(wèn)題屬于最優(yōu)化問(wèn)題，很多時(shí)候這些問(wèn)題可以用數學(xué)規劃算法來(lái)描述，通 常使用Lindo、Lingo 軟件實(shí)現） 4、圖論算法（這類(lèi)算法可以分為很多種，包括最短路、網(wǎng)絡(luò )流、二分圖等算 法，涉及到圖論的問(wèn)題可以用這些方法解決，需要認真準備） 5、動(dòng)態(tài)規劃、回溯搜索、分治算法、分支定界等計算機算法（這些算法是算 法設計中比較常用的方法，很多場(chǎng)合可以用到競賽中） 6、最優(yōu)化理論的三大非經(jīng)典算法：模擬退火法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò )、遺傳算法（這些 問(wèn)題是用來(lái)解決一些較困難的最優(yōu)化問(wèn)題的算法，對于有些問(wèn)題非常有幫助， 但是算法的實(shí)現比較困難，需慎重使用） 7、網(wǎng)格算法和窮舉法（網(wǎng)格算法和窮舉法都是暴力搜索最優(yōu)點(diǎn)的算法，在很 多競賽題中有應用，當重點(diǎn)討論模型本身而輕視算法的時(shí)候，可以使用這種 暴力方案，最好使用一些高級語(yǔ)言作為編程工具） 8、一些連續離散化方法（很多問(wèn)題都是實(shí)際來(lái)的，數據可以是連續的，而計 算機只認的是離散的數據，因此將其離散化后進(jìn)行差分代替微分、求和代替 積分等思想是非常重要的） 9、數值分析算法（如果在比賽中采用高級語(yǔ)言進(jìn)行編程的話(huà)，那一些數值分 析中常用的算法比如方程組求解、矩陣運算、函數積分等算法就需要額外編 寫(xiě)庫函數進(jìn)行調用） 10、圖象處理算法（賽題中有一類(lèi)問(wèn)題與圖形有關(guān)，即使與圖形無(wú)關(guān)，論文 中也應該要不乏圖片的，這些圖形如何展示以及如何處理就是需要解決的問(wèn) 題，通常使用Matlab 進(jìn)行處理）。
6.常見(jiàn)的數學(xué)模型有哪些
1、生物學(xué)數學(xué)模型
2、醫學(xué)數學(xué)模型
3、地質(zhì)學(xué)數學(xué)模型
4、氣象學(xué)數學(xué)模型
5、經(jīng)濟學(xué)數學(xué)模型
6、社會(huì )學(xué)數學(xué)模型
7、物理學(xué)數學(xué)模型
8、化學(xué)數學(xué)模型
9、天文學(xué)數學(xué)模型
10、工程學(xué)數學(xué)模型
11、管理學(xué)數學(xué)模型
擴展資料
數學(xué)模型的歷史可以追溯到人類(lèi)開(kāi)始使用數字的時(shí)代。隨著(zhù)人類(lèi)使用數字，就不斷地建立各種數學(xué)模型，以解決各種各樣的實(shí)際問(wèn)題。
數學(xué)模型這種數學(xué)結構是借助于數學(xué)符號刻劃出來(lái)的某種系統的純關(guān)系結構。從廣義理解，數學(xué)模型包括數學(xué)中的各種概念，各種公式和各種理論。
因為它們都是由現實(shí)世界的原型抽象出來(lái)的，從這意義上講，整個(gè)數學(xué)也可以說(shuō)是一門(mén)關(guān)于數學(xué)模型的科學(xué)。從狹義理解，數學(xué)模型只指那些反映了特定問(wèn)題或特定的具體事物系統的數學(xué)關(guān)系結構，這個(gè)意義上也可理解為聯(lián)系一個(gè)系統中各變量間內的關(guān)系的數學(xué)表達。
參考資料來(lái)源：搜狗百科-數學(xué)模型
7.求幾種常用的數學(xué)建模的方法
1. 公式法：等差數列求和公式： Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2 等比數列求和公式： Sn=na1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)2.錯位相減法適用題型：適用于通項公式為等差的一次函數乘以等比的數列形式 { an }、{ bn }分別是等差數列和等比數列. Sn=a1b1+a2b2+a3b3+。
+anbn 例如： an=a1+(n-1)d bn=a1·q^(n-1) Cn=anbn Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4。.+anbn qTn= a1b2+a2b3+a3b4+。
+a(n-1)bn+anb(n+1) Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+。bn[an-a(n-1)]-anb(n+1) Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+。
bn) =a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q) Tn=上述式子/（1-q）3.倒序相加法這是推導等差數列的前n項和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數列倒過(guò)來(lái)排列（反序），再把它與原數列相加，就可以得到n個(gè)（a1+an） Sn =a1+ a2+ a3+。
+an Sn =an+ a(n-1)+a(n-3)。
+a1 上下相加 得到2Sn 即 Sn= (a1+an)n/24.分組法有一類(lèi)數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類(lèi)數列適當拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數列，然后分別求和，再將其合并即可. 例如：an=2^n+n-15.裂項法適用于分式形式的通項公式，把一項拆成兩個(gè)或多個(gè)的差的形式，即an=f(n+1)-f(n)，然后累加時(shí)抵消中間的許多項。 常用公式： （1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) (2)1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)] (3)1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)] (4)1/（√a+√b）=[1/(a-b)]（√a-√b） (5) n·n!=(n+1)!-n！ [例] 求數列an=1/n(n+1) 的前n項和. 解：an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) （裂項） 則Sn =1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂項求和）= 1-1/(n+1)= n/(n+1) 小結：此類(lèi)變形的特點(diǎn)是將原數列每一項拆為兩項之后，其中中間的大部分項都互相抵消了。
只剩下有限的幾項。 注意： 余下的項具有如下的特點(diǎn) 1余下的項前后的位置前后是對稱(chēng)的。
2余下的項前后的正負性是相反的。6.數學(xué)歸納法一般地，證明一個(gè)與正整數n有關(guān)的命題，有如下步驟： （1）證明當n取第一個(gè)值時(shí)命題成立； （2）假設當n=k(k≥n的第一個(gè)值，k為自然數)時(shí)命題成立，證明當n=k+1時(shí)命題也成立。
例：求證：1*2*3*4 + 2*3*4*5 + 3*4*5*6 + …… + n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5 證明： 當n=1時(shí)，有： 1*2*3*4 + 2*3*4*5 = 2*3*4*5*(1/5 +1) = 2*3*4*5*6/5 假設命題在n=k時(shí)成立，于是： 1*2*3*4 + 2*3*4*5 + 3*4*5*6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 則當n=k+1時(shí)有： 1*2*3*4 + 2*3*4*5 + 3*4*5*6 + …… + （k+1）(k+2)(k+3)(k+4) = 1*2*3*4 + 2*3*4*5 + 3*4*5*6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1) = [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5 即n=k+1時(shí)原等式仍然成立，歸納得證7.通項化歸 先將通項公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再進(jìn)行求和。 如：求數列1,1+2,1+2+3,1+2+3+4，……的前n項和。
此時(shí)先將an求出，再利用分組等方法求和。8.并項求和：例：1-2+3-4+5-6+……+（2n-1）-2n （并項） 求出奇數項和偶數項的和，再相減。
等差數列的重要規律1.an=m,am=n,(m不等于n)，則a(m+n)=0證明：令m>n得：am-an=(m-n)d=n-m 即：d=-1an=a1+(n-1)d=m 可得：a1=m+n-1a(m+n)=a1+(m+n-1)d=02.Sn=m,Sm=n,(m不等于n)，則Sm+n=-(m+n)證明：令m>n得：Sn=[a1+a1+(n-1)d]n/2=m。
1Sm=[a1+a1+(m-1)d]m/2=n。
.2聯(lián)立1、2解得：a1=(m^2+n^2+mn-m-n)/mnd=-2(m+n)/mnS(m+n)=[a1+a1+(m+n-1)d](m+n)/2 =-(m+n)設﹛an﹜是公差不為零的等差數列，Sn是前n項的和，滿(mǎn)足﹙a2﹚2+﹙a3﹚2=﹙a4﹚2+﹙a5﹚2 , S7=7(1) 求數列的通項公式以及前n項和sn(2)試求所有的正整數m，使得[am*a(m+1﹚]/a﹙m+2﹚是數列Sn中的項。
